Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59783 / 85129
↖ ↑ ↗
← S 47.295996°
W 15.801086°		 ← 207.10 m → S 47.295996°
W 15.798340°		 →
↑
207.12 m
↓
↑
207.12 m
↓
S 47.297859°
W 15.801086°		 ← 207.09 m →
42 894 m²		 S 47.297859°
W 15.798340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456111907958984 y=0.649486541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456111907958984 × 217)
    floor (0.456111907958984 × 131072)
    floor (59783.5)     		tx = 59783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649486541748047 × 217)
    floor (0.649486541748047 × 131072)
    floor (85129.5)     		ty = 85129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59783 / 85129 ti = "17/59783/85129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59783/85129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59783 ÷ 217
    59783 ÷ 131072     		x = 0.456108093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85129 ÷ 217
    85129 ÷ 131072     		y = 0.649482727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456108093261719 × 2 - 1) × π
    -0.0877838134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27578098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649482727050781 × 2 - 1) × π
    -0.298965454101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.93922767425576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27578098} λ = -0.27578098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93922767425576))-π/2
    2×atan(0.390929643824407)-π/2
    2×0.372662732263487-π/2
    0.745325464526974-1.57079632675     		φ = -0.82547086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27578098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.801086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82547086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.295996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59783 KachelY 85129 -0.27578098 -0.82547086 -15.801086 -47.295996
    Oben rechts KachelX + 1 59784 KachelY 85129 -0.27573305 -0.82547086 -15.798340 -47.295996
    Unten links KachelX 59783 KachelY + 1 85130 -0.27578098 -0.82550337 -15.801086 -47.297859
    Unten rechts KachelX + 1 59784 KachelY + 1 85130 -0.27573305 -0.82550337 -15.798340 -47.297859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82547086--0.82550337) × R
    3.25099999999301e-05 × 6371000     		dl = 207.121209999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82547086--0.82550337) × R
    3.25099999999301e-05 × 6371000     		dr = 207.121209999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27578098--0.27573305) × cos(-0.82547086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.678211021246732 × 6371000     		do = 207.099894216402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27578098--0.27573305) × cos(-0.82550337) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.678187130355465 × 6371000     		du = 207.092598845346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82547086)-sin(-0.82550337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678211021246732-0.678187130355465)×R²
    abs(-0.27573305--0.27578098)×2.38908912679747e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38908912679747e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38908912679747e-05×40589641000000     		ar = 42894.0251715927m²