Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59782 / 59009
↖ ↑ ↗
← S 80.761497°
E148.392334°		 ← 98.07 m → S 80.761497°
E148.397827°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
S 80.762379°
E148.392334°		 ← 98.06 m →
9 615 m²		 S 80.762379°
E148.397827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912208557128906 y=0.900413513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912208557128906 × 216)
    floor (0.912208557128906 × 65536)
    floor (59782.5)     		tx = 59782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900413513183594 × 216)
    floor (0.900413513183594 × 65536)
    floor (59009.5)     		ty = 59009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59782 / 59009 ti = "16/59782/59009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59782/59009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59782 ÷ 216
    59782 ÷ 65536     		x = 0.912200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59009 ÷ 216
    59009 ÷ 65536     		y = 0.900405883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912200927734375 × 2 - 1) × π
    0.82440185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58993481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900405883789062 × 2 - 1) × π
    -0.800811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51582436585979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58993481} λ = 2.58993481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51582436585979))-π/2
    2×atan(0.0807962790513802)-π/2
    2×0.0806211507422329-π/2
    0.161242301484466-1.57079632675     		φ = -1.40955403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58993481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40955403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.761497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59782 KachelY 59009 2.58993481 -1.40955403 148.392334 -80.761497
    Oben rechts KachelX + 1 59783 KachelY 59009 2.59003069 -1.40955403 148.397827 -80.761497
    Unten links KachelX 59782 KachelY + 1 59010 2.58993481 -1.40956942 148.392334 -80.762379
    Unten rechts KachelX + 1 59783 KachelY + 1 59010 2.59003069 -1.40956942 148.397827 -80.762379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40955403--1.40956942) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dl = 98.0496899996719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40955403--1.40956942) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dr = 98.0496899996719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58993481-2.59003069) × cos(-1.40955403) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160544512650776 × 6371000     		do = 98.0688531585407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58993481-2.59003069) × cos(-1.40956942) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160529322261592 × 6371000     		du = 98.0595740868262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40955403)-sin(-1.40956942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160544512650776-0.160529322261592)×R²
    abs(2.59003069-2.58993481)×1.51903891834615e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51903891834615e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51903891834615e-05×40589641000000     		ar = 9615.16574609103m²