Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59780 / 59003
↖ ↑ ↗
← S 80.756204°
E148.381348°		 ← 98.11 m → S 80.756204°
E148.386841°		 →
↑
98.11 m
↓
↑
98.11 m
↓
S 80.757086°
E148.381348°		 ← 98.11 m →
9 626 m²		 S 80.757086°
E148.386841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912178039550781 y=0.900321960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912178039550781 × 216)
    floor (0.912178039550781 × 65536)
    floor (59780.5)     		tx = 59780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900321960449219 × 216)
    floor (0.900321960449219 × 65536)
    floor (59003.5)     		ty = 59003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59780 / 59003 ti = "16/59780/59003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59780/59003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59780 ÷ 216
    59780 ÷ 65536     		x = 0.91217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59003 ÷ 216
    59003 ÷ 65536     		y = 0.900314331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91217041015625 × 2 - 1) × π
    0.8243408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58974307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900314331054688 × 2 - 1) × π
    -0.800628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51524912306435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58974307} λ = 2.58974307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51524912306435))-π/2
    2×atan(0.0808427698992836)-π/2
    2×0.0806673398920456-π/2
    0.161334679784091-1.57079632675     		φ = -1.40946165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58974307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.381348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40946165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.756204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59780 KachelY 59003 2.58974307 -1.40946165 148.381348 -80.756204
    Oben rechts KachelX + 1 59781 KachelY 59003 2.58983894 -1.40946165 148.386841 -80.756204
    Unten links KachelX 59780 KachelY + 1 59004 2.58974307 -1.40947705 148.381348 -80.757086
    Unten rechts KachelX + 1 59781 KachelY + 1 59004 2.58983894 -1.40947705 148.386841 -80.757086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40946165--1.40947705) × R
    1.54000000001098e-05 × 6371000     		dl = 98.1134000006993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40946165--1.40947705) × R
    1.54000000001098e-05 × 6371000     		dr = 98.1134000006993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58974307-2.58983894) × cos(-1.40946165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16063569366777 × 6371000     		do = 98.1143171177384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58974307-2.58983894) × cos(-1.40947705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160620493636729 × 6371000     		du = 98.1050331246747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40946165)-sin(-1.40947705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16063569366777-0.160620493636729)×R²
    abs(2.58983894-2.58974307)×1.52000310413292e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52000310413292e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52000310413292e-05×40589641000000     		ar = 9625.87379916697m²