Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59780 / 34180
↖ ↑ ↗
← N 64.918885°
W 15.809326°		 ← 129.44 m → N 64.918885°
W 15.806580°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
N 64.917721°
W 15.809326°		 ← 129.45 m →
16 758 m²		 N 64.917721°
W 15.806580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456089019775391 y=0.260776519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456089019775391 × 217)
    floor (0.456089019775391 × 131072)
    floor (59780.5)     		tx = 59780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260776519775391 × 217)
    floor (0.260776519775391 × 131072)
    floor (34180.5)     		ty = 34180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59780 / 34180 ti = "17/59780/34180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59780/34180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59780 ÷ 217
    59780 ÷ 131072     		x = 0.456085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34180 ÷ 217
    34180 ÷ 131072     		y = 0.260772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.08782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27592479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260772705078125 × 2 - 1) × π
    0.47845458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50310942448648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27592479} λ = -0.27592479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50310942448648))-π/2
    2×atan(4.49564623219917)-π/2
    2×1.35192230866184-π/2
    2.70384461732367-1.57079632675     		φ = 1.13304829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27592479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.809326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13304829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.918885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59780 KachelY 34180 -0.27592479 1.13304829 -15.809326 64.918885
    Oben rechts KachelX + 1 59781 KachelY 34180 -0.27587686 1.13304829 -15.806580 64.918885
    Unten links KachelX 59780 KachelY + 1 34181 -0.27592479 1.13302797 -15.809326 64.917721
    Unten rechts KachelX + 1 59781 KachelY + 1 34181 -0.27587686 1.13302797 -15.806580 64.917721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13304829-1.13302797) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13304829-1.13302797) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27592479--0.27587686) × cos(1.13304829) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.423900919291686 × 6371000     		do = 129.443245233705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27592479--0.27587686) × cos(1.13302797) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.423919323202277 × 6371000     		du = 129.448865089203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13304829)-sin(1.13302797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423900919291686-0.423919323202277)×R²
    abs(-0.27587686--0.27592479)×1.84039105909362e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.84039105909362e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.84039105909362e-05×40589641000000     		ar = 16757.9206107966m²