Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59780 / 30365
↖ ↑ ↗
← N 69.008627°
W 15.809326°		 ← 109.39 m → N 69.008627°
W 15.806580°		 →
↑
109.45 m
↓
↑
109.45 m
↓
N 69.007643°
W 15.809326°		 ← 109.39 m →
11 973 m²		 N 69.007643°
W 15.806580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456089019775391 y=0.231670379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456089019775391 × 217)
    floor (0.456089019775391 × 131072)
    floor (59780.5)     		tx = 59780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231670379638672 × 217)
    floor (0.231670379638672 × 131072)
    floor (30365.5)     		ty = 30365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59780 / 30365 ti = "17/59780/30365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59780/30365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59780 ÷ 217
    59780 ÷ 131072     		x = 0.456085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30365 ÷ 217
    30365 ÷ 131072     		y = 0.231666564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.08782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27592479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231666564941406 × 2 - 1) × π
    0.536666870117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.685988696537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27592479} λ = -0.27592479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.685988696537))-π/2
    2×atan(5.39778506639765)-π/2
    2×1.38761204095384-π/2
    2.77522408190768-1.57079632675     		φ = 1.20442776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27592479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.809326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20442776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.008627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59780 KachelY 30365 -0.27592479 1.20442776 -15.809326 69.008627
    Oben rechts KachelX + 1 59781 KachelY 30365 -0.27587686 1.20442776 -15.806580 69.008627
    Unten links KachelX 59780 KachelY + 1 30366 -0.27592479 1.20441058 -15.809326 69.007643
    Unten rechts KachelX + 1 59781 KachelY + 1 30366 -0.27587686 1.20441058 -15.806580 69.007643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20442776-1.20441058) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dl = 109.453779999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20442776-1.20441058) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dr = 109.453779999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27592479--0.27587686) × cos(1.20442776) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.35822737056118 × 6371000     		do = 109.389037076065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27592479--0.27587686) × cos(1.20441058) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.35824341034692 × 6371000     		du = 109.393935017599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20442776)-sin(1.20441058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35822737056118-0.35824341034692)×R²
    abs(-0.27587686--0.27592479)×1.60397857399963e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.60397857399963e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.60397857399963e-05×40589641000000     		ar = 11973.3116478205m²