Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5978 / 6886
↖ ↑ ↗
← N 27.566721°
W 48.647461°		 ← 2 165.90 m → N 27.566721°
W 48.625488°		 →
↑
2 166.08 m
↓
↑
2 166.08 m
↓
N 27.547241°
W 48.647461°		 ← 2 166.28 m →
4 691 919 m²		 N 27.547241°
W 48.625488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364898681640625 y=0.420318603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364898681640625 × 214)
    floor (0.364898681640625 × 16384)
    floor (5978.5)     		tx = 5978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420318603515625 × 214)
    floor (0.420318603515625 × 16384)
    floor (6886.5)     		ty = 6886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5978 / 6886 ti = "14/5978/6886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5978/6886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5978 ÷ 214
    5978 ÷ 16384     		x = 0.3648681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6886 ÷ 214
    6886 ÷ 16384     		y = 0.4202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3648681640625 × 2 - 1) × π
    -0.270263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84905837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4202880859375 × 2 - 1) × π
    0.159423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.500844727230347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84905837} λ = -0.84905837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500844727230347))-π/2
    2×atan(1.65011457885256)-π/2
    2×1.02596318986147-π/2
    2.05192637972294-1.57079632675     		φ = 0.48113005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84905837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.647461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48113005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.566721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5978 KachelY 6886 -0.84905837 0.48113005 -48.647461 27.566721
    Oben rechts KachelX + 1 5979 KachelY 6886 -0.84867487 0.48113005 -48.625488 27.566721
    Unten links KachelX 5978 KachelY + 1 6887 -0.84905837 0.48079006 -48.647461 27.547241
    Unten rechts KachelX + 1 5979 KachelY + 1 6887 -0.84867487 0.48079006 -48.625488 27.547241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48113005-0.48079006) × R
    0.000339989999999957 × 6371000     		dl = 2166.07628999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48113005-0.48079006) × R
    0.000339989999999957 × 6371000     		dr = 2166.07628999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84905837--0.84867487) × cos(0.48113005) × R
    0.000383499999999981 × 0.886472522981064 × 6371000     		do = 2165.89925624028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84905837--0.84867487) × cos(0.48079006) × R
    0.000383499999999981 × 0.886629812733014 × 6371000     		du = 2166.28355890949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48113005)-sin(0.48079006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886472522981064-0.886629812733014)×R²
    abs(-0.84867487--0.84905837)×0.000157289751950285×R²
    0.000383499999999981×0.000157289751950285×6371000²
    0.000383499999999981×0.000157289751950285×40589641000000     		ar = 4691919.28511661m²