Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59779 / 82335
↖ ↑ ↗
← S 41.834782°
W 15.812073°		 ← 227.56 m → S 41.834782°
W 15.809326°		 →
↑
227.51 m
↓
↑
227.51 m
↓
S 41.836828°
W 15.812073°		 ← 227.56 m →
51 772 m²		 S 41.836828°
W 15.809326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456081390380859 y=0.628170013427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456081390380859 × 217)
    floor (0.456081390380859 × 131072)
    floor (59779.5)     		tx = 59779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628170013427734 × 217)
    floor (0.628170013427734 × 131072)
    floor (82335.5)     		ty = 82335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59779 / 82335 ti = "17/59779/82335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59779/82335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59779 ÷ 217
    59779 ÷ 131072     		x = 0.456077575683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82335 ÷ 217
    82335 ÷ 131072     		y = 0.628166198730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456077575683594 × 2 - 1) × π
    -0.0878448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27597273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628166198730469 × 2 - 1) × π
    -0.256332397460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.805291976717323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27597273} λ = -0.27597273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805291976717323))-π/2
    2×atan(0.446957406349563)-π/2
    2×0.420320823943326-π/2
    0.840641647886651-1.57079632675     		φ = -0.73015468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27597273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.812073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73015468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.834782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59779 KachelY 82335 -0.27597273 -0.73015468 -15.812073 -41.834782
    Oben rechts KachelX + 1 59780 KachelY 82335 -0.27592479 -0.73015468 -15.809326 -41.834782
    Unten links KachelX 59779 KachelY + 1 82336 -0.27597273 -0.73019039 -15.812073 -41.836828
    Unten rechts KachelX + 1 59780 KachelY + 1 82336 -0.27592479 -0.73019039 -15.809326 -41.836828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73015468--0.73019039) × R
    3.57100000000221e-05 × 6371000     		dl = 227.508410000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73015468--0.73019039) × R
    3.57100000000221e-05 × 6371000     		dr = 227.508410000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27597273--0.27592479) × cos(-0.73015468) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.745071242035654 × 6371000     		do = 227.563935451573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27597273--0.27592479) × cos(-0.73019039) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.745047423530157 × 6371000     		du = 227.556660666906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73015468)-sin(-0.73019039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745071242035654-0.745047423530157)×R²
    abs(-0.27592479--0.27597273)×2.3818505497375e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3818505497375e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3818505497375e-05×40589641000000     		ar = 51771.8815962317m²