Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59779 / 30364
↖ ↑ ↗
← N 69.009611°
W 15.812073°		 ← 109.41 m → N 69.009611°
W 15.809326°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
N 69.008627°
W 15.812073°		 ← 109.41 m →
11 968 m²		 N 69.008627°
W 15.809326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456081390380859 y=0.231662750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456081390380859 × 217)
    floor (0.456081390380859 × 131072)
    floor (59779.5)     		tx = 59779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231662750244141 × 217)
    floor (0.231662750244141 × 131072)
    floor (30364.5)     		ty = 30364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59779 / 30364 ti = "17/59779/30364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59779/30364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59779 ÷ 217
    59779 ÷ 131072     		x = 0.456077575683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30364 ÷ 217
    30364 ÷ 131072     		y = 0.231658935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456077575683594 × 2 - 1) × π
    -0.0878448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27597273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231658935546875 × 2 - 1) × π
    0.53668212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68603663343662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27597273} λ = -0.27597273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68603663343662))-π/2
    2×atan(5.39804382568056)-π/2
    2×1.38762062691657-π/2
    2.77524125383313-1.57079632675     		φ = 1.20444493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27597273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.812073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20444493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.009611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59779 KachelY 30364 -0.27597273 1.20444493 -15.812073 69.009611
    Oben rechts KachelX + 1 59780 KachelY 30364 -0.27592479 1.20444493 -15.809326 69.009611
    Unten links KachelX 59779 KachelY + 1 30365 -0.27597273 1.20442776 -15.812073 69.008627
    Unten rechts KachelX + 1 59780 KachelY + 1 30365 -0.27592479 1.20442776 -15.809326 69.008627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20444493-1.20442776) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20444493-1.20442776) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27597273--0.27592479) × cos(1.20444493) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.358211340006114 × 6371000     		do = 109.406963597814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27597273--0.27592479) × cos(1.20442776) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35822737056118 × 6371000     		du = 109.411859741958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20444493)-sin(1.20442776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358211340006114-0.35822737056118)×R²
    abs(-0.27592479--0.27597273)×1.60305550664375e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60305550664375e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60305550664375e-05×40589641000000     		ar = 11968.3032014977m²