Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59778 / 27009
↖ ↑ ↗
← N 72.073066°
W 15.814819°		 ← 94.01 m → N 72.073066°
W 15.812073°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 72.072221°
W 15.814819°		 ← 94.02 m →
8 841 m²		 N 72.072221°
W 15.812073°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456073760986328 y=0.206066131591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456073760986328 × 217)
    floor (0.456073760986328 × 131072)
    floor (59778.5)     		tx = 59778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206066131591797 × 217)
    floor (0.206066131591797 × 131072)
    floor (27009.5)     		ty = 27009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59778 / 27009 ti = "17/59778/27009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59778/27009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59778 ÷ 217
    59778 ÷ 131072     		x = 0.456069946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27009 ÷ 217
    27009 ÷ 131072     		y = 0.206062316894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456069946289062 × 2 - 1) × π
    -0.087860107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27602067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206062316894531 × 2 - 1) × π
    0.587875366210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.8468649316619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27602067} λ = -0.27602067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8468649316619))-π/2
    2×atan(6.33991227537587)-π/2
    2×1.41435431610496-π/2
    2.82870863220991-1.57079632675     		φ = 1.25791231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27602067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.814819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25791231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.073066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59778 KachelY 27009 -0.27602067 1.25791231 -15.814819 72.073066
    Oben rechts KachelX + 1 59779 KachelY 27009 -0.27597273 1.25791231 -15.812073 72.073066
    Unten links KachelX 59778 KachelY + 1 27010 -0.27602067 1.25789755 -15.814819 72.072221
    Unten rechts KachelX + 1 59779 KachelY + 1 27010 -0.27597273 1.25789755 -15.812073 72.072221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25791231-1.25789755) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25791231-1.25789755) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27602067--0.27597273) × cos(1.25791231) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.307803909976126 × 6371000     		do = 94.0112369793989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27602067--0.27597273) × cos(1.25789755) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.307817953341886 × 6371000     		du = 94.0155261847782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25791231)-sin(1.25789755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307803909976126-0.307817953341886)×R²
    abs(-0.27597273--0.27602067)×1.4043365759886e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.4043365759886e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.4043365759886e-05×40589641000000     		ar = 8840.63858992141m²