Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59777 / 59010
↖ ↑ ↗
← S 80.762379°
E148.364868°		 ← 98.06 m → S 80.762379°
E148.370361°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
S 80.763260°
E148.364868°		 ← 98.05 m →
9 614 m²		 S 80.763260°
E148.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912132263183594 y=0.900428771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912132263183594 × 216)
    floor (0.912132263183594 × 65536)
    floor (59777.5)     		tx = 59777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900428771972656 × 216)
    floor (0.900428771972656 × 65536)
    floor (59010.5)     		ty = 59010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59777 / 59010 ti = "16/59777/59010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59777/59010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59777 ÷ 216
    59777 ÷ 65536     		x = 0.912124633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59010 ÷ 216
    59010 ÷ 65536     		y = 0.900421142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912124633789062 × 2 - 1) × π
    0.824249267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58945544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900421142578125 × 2 - 1) × π
    -0.80084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51592023965903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58945544} λ = 2.58945544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51592023965903))-π/2
    2×atan(0.0807885331764623)-π/2
    2×0.0806134550999495-π/2
    0.161226910199899-1.57079632675     		φ = -1.40956942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58945544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.364868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40956942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.762379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59777 KachelY 59010 2.58945544 -1.40956942 148.364868 -80.762379
    Oben rechts KachelX + 1 59778 KachelY 59010 2.58955132 -1.40956942 148.370361 -80.762379
    Unten links KachelX 59777 KachelY + 1 59011 2.58945544 -1.40958481 148.364868 -80.763260
    Unten rechts KachelX + 1 59778 KachelY + 1 59011 2.58955132 -1.40958481 148.370361 -80.763260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40956942--1.40958481) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dl = 98.0496899996719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40956942--1.40958481) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dr = 98.0496899996719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58945544-2.58955132) × cos(-1.40956942) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160529322261592 × 6371000     		do = 98.0595740868262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58945544-2.58955132) × cos(-1.40958481) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160514131834387 × 6371000     		du = 98.0502949918861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40956942)-sin(-1.40958481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160529322261592-0.160514131834387)×R²
    abs(2.58955132-2.58945544)×1.51904272051584e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51904272051584e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51904272051584e-05×40589641000000     		ar = 9614.25593462415m²