Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59777 / 35455
↖ ↑ ↗
← N 63.392752°
W 15.817566°		 ← 136.76 m → N 63.392752°
W 15.814819°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
N 63.391522°
W 15.817566°		 ← 136.77 m →
18 708 m²		 N 63.391522°
W 15.814819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456066131591797 y=0.270503997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456066131591797 × 217)
    floor (0.456066131591797 × 131072)
    floor (59777.5)     		tx = 59777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270503997802734 × 217)
    floor (0.270503997802734 × 131072)
    floor (35455.5)     		ty = 35455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59777 / 35455 ti = "17/59777/35455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59777/35455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59777 ÷ 217
    59777 ÷ 131072     		x = 0.456062316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35455 ÷ 217
    35455 ÷ 131072     		y = 0.270500183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456062316894531 × 2 - 1) × π
    -0.0878753662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27606860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270500183105469 × 2 - 1) × π
    0.458999633789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.44198987747091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27606860} λ = -0.27606860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44198987747091))-π/2
    2×atan(4.22910284621933)-π/2
    2×1.33860428456183-π/2
    2.67720856912366-1.57079632675     		φ = 1.10641224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27606860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.817566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10641224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.392752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59777 KachelY 35455 -0.27606860 1.10641224 -15.817566 63.392752
    Oben rechts KachelX + 1 59778 KachelY 35455 -0.27602067 1.10641224 -15.814819 63.392752
    Unten links KachelX 59777 KachelY + 1 35456 -0.27606860 1.10639077 -15.817566 63.391522
    Unten rechts KachelX + 1 59778 KachelY + 1 35456 -0.27602067 1.10639077 -15.814819 63.391522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10641224-1.10639077) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dl = 136.785370000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10641224-1.10639077) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dr = 136.785370000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27606860--0.27602067) × cos(1.10641224) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.447872199920792 × 6371000     		do = 136.763164148304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27606860--0.27602067) × cos(1.10639077) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.447891396092727 × 6371000     		du = 136.769025930335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10641224)-sin(1.10639077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447872199920792-0.447891396092727)×R²
    abs(-0.27602067--0.27606860)×1.91961719351874e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91961719351874e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91961719351874e-05×40589641000000     		ar = 18707.6009142115m²