Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59777 / 27519
↖ ↑ ↗
← N 71.636858°
W 15.817566°		 ← 96.20 m → N 71.636858°
W 15.814819°		 →
↑
96.20 m
↓
↑
96.20 m
↓
N 71.635993°
W 15.817566°		 ← 96.21 m →
9 255 m²		 N 71.635993°
W 15.814819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456066131591797 y=0.209957122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456066131591797 × 217)
    floor (0.456066131591797 × 131072)
    floor (59777.5)     		tx = 59777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209957122802734 × 217)
    floor (0.209957122802734 × 131072)
    floor (27519.5)     		ty = 27519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59777 / 27519 ti = "17/59777/27519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59777/27519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59777 ÷ 217
    59777 ÷ 131072     		x = 0.456062316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27519 ÷ 217
    27519 ÷ 131072     		y = 0.209953308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456062316894531 × 2 - 1) × π
    -0.0878753662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27606860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209953308105469 × 2 - 1) × π
    0.580093383789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.82241711285567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27606860} λ = -0.27606860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82241711285567))-π/2
    2×atan(6.18679457216081)-π/2
    2×1.41054768392146-π/2
    2.82109536784292-1.57079632675     		φ = 1.25029904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27606860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.817566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25029904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.636858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59777 KachelY 27519 -0.27606860 1.25029904 -15.817566 71.636858
    Oben rechts KachelX + 1 59778 KachelY 27519 -0.27602067 1.25029904 -15.814819 71.636858
    Unten links KachelX 59777 KachelY + 1 27520 -0.27606860 1.25028394 -15.817566 71.635993
    Unten rechts KachelX + 1 59778 KachelY + 1 27520 -0.27602067 1.25028394 -15.814819 71.635993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25029904-1.25028394) × R
    1.50999999999346e-05 × 6371000     		dl = 96.2020999995834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25029904-1.25028394) × R
    1.50999999999346e-05 × 6371000     		dr = 96.2020999995834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27606860--0.27602067) × cos(1.25029904) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.315038563940087 × 6371000     		do = 96.2008154129774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27606860--0.27602067) × cos(1.25028394) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.315052894995122 × 6371000     		du = 96.2051915730347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25029904)-sin(1.25028394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315038563940087-0.315052894995122)×R²
    abs(-0.27602067--0.27606860)×1.43310550343445e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.43310550343445e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.43310550343445e-05×40589641000000     		ar = 9254.93096254703m²