Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59776 / 58240
↖ ↑ ↗
← S 80.058050°
E148.359375°		 ← 105.45 m → S 80.058050°
E148.364868°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
S 80.058998°
E148.359375°		 ← 105.44 m →
11 118 m²		 S 80.058998°
E148.364868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912117004394531 y=0.888679504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912117004394531 × 216)
    floor (0.912117004394531 × 65536)
    floor (59776.5)     		tx = 59776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.888679504394531 × 216)
    floor (0.888679504394531 × 65536)
    floor (58240.5)     		ty = 58240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59776 / 58240 ti = "16/59776/58240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59776/58240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59776 ÷ 216
    59776 ÷ 65536     		x = 0.912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58240 ÷ 216
    58240 ÷ 65536     		y = 0.888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912109375 × 2 - 1) × π
    0.82421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58935957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.888671875 × 2 - 1) × π
    -0.77734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.44209741424414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58935957} λ = 2.58935957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44209741424414))-π/2
    2×atan(0.0869782306333051)-π/2
    2×0.0867598846112584-π/2
    0.173519769222517-1.57079632675     		φ = -1.39727656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58935957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39727656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.058050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59776 KachelY 58240 2.58935957 -1.39727656 148.359375 -80.058050
    Oben rechts KachelX + 1 59777 KachelY 58240 2.58945544 -1.39727656 148.364868 -80.058050
    Unten links KachelX 59776 KachelY + 1 58241 2.58935957 -1.39729311 148.359375 -80.058998
    Unten rechts KachelX + 1 59777 KachelY + 1 58241 2.58945544 -1.39729311 148.364868 -80.058998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39727656--1.39729311) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39727656--1.39729311) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58935957-2.58945544) × cos(-1.39727656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172650322461766 × 6371000     		do = 105.452705446201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58935957-2.58945544) × cos(-1.39729311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172634020966482 × 6371000     		du = 105.442748692249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39727656)-sin(-1.39729311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172650322461766-0.172634020966482)×R²
    abs(2.58945544-2.58935957)×1.6301495283616e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.6301495283616e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.6301495283616e-05×40589641000000     		ar = 11118.4136147272m²