Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59776 / 56704
↖ ↑ ↗
← N 23.563987°
W 15.820312°		 ← 279.96 m → N 23.563987°
W 15.817566°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
N 23.561470°
W 15.820312°		 ← 279.96 m →
78 373 m²		 N 23.561470°
W 15.817566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456058502197266 y=0.432621002197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456058502197266 × 217)
    floor (0.456058502197266 × 131072)
    floor (59776.5)     		tx = 59776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432621002197266 × 217)
    floor (0.432621002197266 × 131072)
    floor (56704.5)     		ty = 56704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59776 / 56704 ti = "17/59776/56704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59776/56704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59776 ÷ 217
    59776 ÷ 131072     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56704 ÷ 217
    56704 ÷ 131072     		y = 0.4326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.423378697444336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423378697444336))-π/2
    2×atan(1.52711250007833)-π/2
    2×0.991032743536421-π/2
    1.98206548707284-1.57079632675     		φ = 0.41126916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41126916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.563987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59776 KachelY 56704 -0.27611654 0.41126916 -15.820312 23.563987
    Oben rechts KachelX + 1 59777 KachelY 56704 -0.27606860 0.41126916 -15.817566 23.563987
    Unten links KachelX 59776 KachelY + 1 56705 -0.27611654 0.41122522 -15.820312 23.561470
    Unten rechts KachelX + 1 59777 KachelY + 1 56705 -0.27606860 0.41122522 -15.817566 23.561470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41126916-0.41122522) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dl = 279.941740000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41126916-0.41122522) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dr = 279.941740000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.27606860) × cos(0.41126916) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916614185303787 × 6371000     		do = 279.957565841047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.27606860) × cos(0.41122522) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.916631750443645 × 6371000     		du = 279.962930686886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41126916)-sin(0.41122522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916614185303787-0.916631750443645)×R²
    abs(-0.27606860--0.27611654)×1.75651398581778e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.75651398581778e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.75651398581778e-05×40589641000000     		ar = 78372.5590424675m²