Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59776 / 30336
↖ ↑ ↗
← N 69.037142°
W 15.820312°		 ← 109.27 m → N 69.037142°
W 15.817566°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
N 69.036159°
W 15.820312°		 ← 109.27 m →
11 939 m²		 N 69.036159°
W 15.817566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456058502197266 y=0.231449127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456058502197266 × 217)
    floor (0.456058502197266 × 131072)
    floor (59776.5)     		tx = 59776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231449127197266 × 217)
    floor (0.231449127197266 × 131072)
    floor (30336.5)     		ty = 30336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59776 / 30336 ti = "17/59776/30336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59776/30336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59776 ÷ 217
    59776 ÷ 131072     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30336 ÷ 217
    30336 ÷ 131072     		y = 0.2314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2314453125 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.68737886662598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68737886662598))-π/2
    2×atan(5.40529412396801)-π/2
    2×1.38786087791554-π/2
    2.77572175583108-1.57079632675     		φ = 1.20492543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20492543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.037142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59776 KachelY 30336 -0.27611654 1.20492543 -15.820312 69.037142
    Oben rechts KachelX + 1 59777 KachelY 30336 -0.27606860 1.20492543 -15.817566 69.037142
    Unten links KachelX 59776 KachelY + 1 30337 -0.27611654 1.20490828 -15.820312 69.036159
    Unten rechts KachelX + 1 59777 KachelY + 1 30337 -0.27606860 1.20490828 -15.817566 69.036159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20492543-1.20490828) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dl = 109.262650000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20492543-1.20490828) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dr = 109.262650000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.27606860) × cos(1.20492543) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357762684397617 × 6371000     		do = 109.269932626584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.27606860) × cos(1.20490828) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357778699230081 × 6371000     		du = 109.27482396864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20492543)-sin(1.20490828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357762684397617-0.357778699230081)×R²
    abs(-0.27606860--0.27611654)×1.60148324637732e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60148324637732e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60148324637732e-05×40589641000000     		ar = 11939.3896248681m²