Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59775 / 59011
↖ ↑ ↗
← S 80.763260°
E148.353882°		 ← 98.04 m → S 80.763260°
E148.359375°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
S 80.764142°
E148.353882°		 ← 98.03 m →
9 606 m²		 S 80.764142°
E148.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912101745605469 y=0.900444030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912101745605469 × 216)
    floor (0.912101745605469 × 65536)
    floor (59775.5)     		tx = 59775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900444030761719 × 216)
    floor (0.900444030761719 × 65536)
    floor (59011.5)     		ty = 59011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59775 / 59011 ti = "16/59775/59011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59775/59011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59775 ÷ 216
    59775 ÷ 65536     		x = 0.912094116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59011 ÷ 216
    59011 ÷ 65536     		y = 0.900436401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912094116210938 × 2 - 1) × π
    0.824188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58926370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900436401367188 × 2 - 1) × π
    -0.800872802734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51601611345827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58926370} λ = 2.58926370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51601611345827))-π/2
    2×atan(0.0807807880441352)-π/2
    2×0.0806057601858736-π/2
    0.161211520371747-1.57079632675     		φ = -1.40958481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58926370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.353882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40958481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.763260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59775 KachelY 59011 2.58926370 -1.40958481 148.353882 -80.763260
    Oben rechts KachelX + 1 59776 KachelY 59011 2.58935957 -1.40958481 148.359375 -80.763260
    Unten links KachelX 59775 KachelY + 1 59012 2.58926370 -1.40960019 148.353882 -80.764142
    Unten rechts KachelX + 1 59776 KachelY + 1 59012 2.58935957 -1.40960019 148.359375 -80.764142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40958481--1.40960019) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dl = 97.9859800000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40958481--1.40960019) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dr = 97.9859800000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58926370-2.58935957) × cos(-1.40958481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160514131834387 × 6371000     		do = 98.0400686366091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58926370-2.58935957) × cos(-1.40960019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160498951239524 × 6371000     		du = 98.0307965149254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40958481)-sin(-1.40960019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160514131834387-0.160498951239524)×R²
    abs(2.58935957-2.58926370)×1.51805948632455e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51805948632455e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51805948632455e-05×40589641000000     		ar = 9606.09793601058m²