Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59775 / 59007
↖ ↑ ↗
← S 80.759733°
E148.353882°		 ← 98.08 m → S 80.759733°
E148.359375°		 →
↑
98.05 m
↓
↑
98.05 m
↓
S 80.760615°
E148.353882°		 ← 98.07 m →
9 616 m²		 S 80.760615°
E148.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912101745605469 y=0.900382995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912101745605469 × 216)
    floor (0.912101745605469 × 65536)
    floor (59775.5)     		tx = 59775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900382995605469 × 216)
    floor (0.900382995605469 × 65536)
    floor (59007.5)     		ty = 59007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59775 / 59007 ti = "16/59775/59007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59775/59007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59775 ÷ 216
    59775 ÷ 65536     		x = 0.912094116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59007 ÷ 216
    59007 ÷ 65536     		y = 0.900375366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912094116210938 × 2 - 1) × π
    0.824188232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58926370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900375366210938 × 2 - 1) × π
    -0.800750732421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51563261826131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58926370} λ = 2.58926370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51563261826131))-π/2
    2×atan(0.0808117730292735)-π/2
    2×0.0806365442116901-π/2
    0.16127308842338-1.57079632675     		φ = -1.40952324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58926370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.353882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40952324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.759733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59775 KachelY 59007 2.58926370 -1.40952324 148.353882 -80.759733
    Oben rechts KachelX + 1 59776 KachelY 59007 2.58935957 -1.40952324 148.359375 -80.759733
    Unten links KachelX 59775 KachelY + 1 59008 2.58926370 -1.40953863 148.353882 -80.760615
    Unten rechts KachelX + 1 59776 KachelY + 1 59008 2.58935957 -1.40953863 148.359375 -80.760615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40952324--1.40953863) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dl = 98.0496899996719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40952324--1.40953863) × R
    1.53899999999485e-05 × 6371000     		dr = 98.0496899996719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58926370-2.58935957) × cos(-1.40952324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1605749031853 × 6371000     		do = 98.0771870345131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58926370-2.58935957) × cos(-1.40953863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160559712872195 × 6371000     		du = 98.0679089770463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40952324)-sin(-1.40953863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1605749031853-0.160559712872195)×R²
    abs(2.58935957-2.58926370)×1.51903131045406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51903131045406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51903131045406e-05×40589641000000     		ar = 9615.98292960757m²