Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59775 / 35457
↖ ↑ ↗
← N 63.390291°
W 15.823059°		 ← 136.80 m → N 63.390291°
W 15.820312°		 →
↑
136.79 m
↓
↑
136.79 m
↓
N 63.389061°
W 15.823059°		 ← 136.81 m →
18 713 m²		 N 63.389061°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456050872802734 y=0.270519256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456050872802734 × 217)
    floor (0.456050872802734 × 131072)
    floor (59775.5)     		tx = 59775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270519256591797 × 217)
    floor (0.270519256591797 × 131072)
    floor (35457.5)     		ty = 35457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59775 / 35457 ti = "17/59775/35457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59775/35457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59775 ÷ 217
    59775 ÷ 131072     		x = 0.456047058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35457 ÷ 217
    35457 ÷ 131072     		y = 0.270515441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456047058105469 × 2 - 1) × π
    -0.0879058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27616448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270515441894531 × 2 - 1) × π
    0.458969116210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.44189400367167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27616448} λ = -0.27616448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44189400367167))-π/2
    2×atan(4.22869740549797)-π/2
    2×1.33858281403703-π/2
    2.67716562807406-1.57079632675     		φ = 1.10636930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27616448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.823059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10636930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.390291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59775 KachelY 35457 -0.27616448 1.10636930 -15.823059 63.390291
    Oben rechts KachelX + 1 59776 KachelY 35457 -0.27611654 1.10636930 -15.820312 63.390291
    Unten links KachelX 59775 KachelY + 1 35458 -0.27616448 1.10634783 -15.823059 63.389061
    Unten rechts KachelX + 1 59776 KachelY + 1 35458 -0.27611654 1.10634783 -15.820312 63.389061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10636930-1.10634783) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dl = 136.785370000503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10636930-1.10634783) × R
    2.14700000000789e-05 × 6371000     		dr = 136.785370000503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27616448--0.27611654) × cos(1.10636930) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447910592058202 × 6371000     		do = 136.803424033125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27616448--0.27611654) × cos(1.10634783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447929787817208 × 6371000     		du = 136.809286912024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10636930)-sin(1.10634783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447910592058202-0.447929787817208)×R²
    abs(-0.27611654--0.27616448)×1.9195759005497e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9195759005497e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9195759005497e-05×40589641000000     		ar = 18713.107952475m²