Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59774 / 85149
↖ ↑ ↗
← S 47.333239°
W 15.825806°		 ← 207 m → S 47.333239°
W 15.823059°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
S 47.335100°
W 15.825806°		 ← 206.99 m →
42 846 m²		 S 47.335100°
W 15.823059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456043243408203 y=0.649639129638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456043243408203 × 217)
    floor (0.456043243408203 × 131072)
    floor (59774.5)     		tx = 59774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649639129638672 × 217)
    floor (0.649639129638672 × 131072)
    floor (85149.5)     		ty = 85149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59774 / 85149 ti = "17/59774/85149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59774/85149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59774 ÷ 217
    59774 ÷ 131072     		x = 0.456039428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85149 ÷ 217
    85149 ÷ 131072     		y = 0.649635314941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456039428710938 × 2 - 1) × π
    -0.087921142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27621242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649635314941406 × 2 - 1) × π
    -0.299270629882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.940186412248161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27621242} λ = -0.27621242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940186412248161))-π/2
    2×atan(0.390555024332182)-π/2
    2×0.372337733452321-π/2
    0.744675466904642-1.57079632675     		φ = -0.82612086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27621242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.825806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82612086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.333239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59774 KachelY 85149 -0.27621242 -0.82612086 -15.825806 -47.333239
    Oben rechts KachelX + 1 59775 KachelY 85149 -0.27616448 -0.82612086 -15.823059 -47.333239
    Unten links KachelX 59774 KachelY + 1 85150 -0.27621242 -0.82615335 -15.825806 -47.335100
    Unten rechts KachelX + 1 59775 KachelY + 1 85150 -0.27616448 -0.82615335 -15.823059 -47.335100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82612086--0.82615335) × R
    3.24900000000516e-05 × 6371000     		dl = 206.993790000329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82612086--0.82615335) × R
    3.24900000000516e-05 × 6371000     		dr = 206.993790000329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27621242--0.27616448) × cos(-0.82612086) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.677733214324304 × 6371000     		do = 206.997168507683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27621242--0.27616448) × cos(-0.82615335) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.677709323813318 × 6371000     		du = 206.989871730686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82612086)-sin(-0.82615335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677733214324304-0.677709323813318)×R²
    abs(-0.27616448--0.27621242)×2.38905109856136e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38905109856136e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38905109856136e-05×40589641000000     		ar = 42846.3732387002m²