Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59774 / 59015
↖ ↑ ↗
← S 80.766786°
E148.348389°		 ← 98.01 m → S 80.766786°
E148.353882°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
S 80.767668°
E148.348389°		 ← 98 m →
9 603 m²		 S 80.767668°
E148.353882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912086486816406 y=0.900505065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912086486816406 × 216)
    floor (0.912086486816406 × 65536)
    floor (59774.5)     		tx = 59774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900505065917969 × 216)
    floor (0.900505065917969 × 65536)
    floor (59015.5)     		ty = 59015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59774 / 59015 ti = "16/59774/59015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59774/59015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59774 ÷ 216
    59774 ÷ 65536     		x = 0.912078857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59015 ÷ 216
    59015 ÷ 65536     		y = 0.900497436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912078857421875 × 2 - 1) × π
    0.82415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58916782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900497436523438 × 2 - 1) × π
    -0.800994873046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51639960865523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58916782} λ = 2.58916782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51639960865523))-π/2
    2×atan(0.0807498149393116)-π/2
    2×0.0805749878103023-π/2
    0.161149975620605-1.57079632675     		φ = -1.40964635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58916782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.348389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40964635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.766786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59774 KachelY 59015 2.58916782 -1.40964635 148.348389 -80.766786
    Oben rechts KachelX + 1 59775 KachelY 59015 2.58926370 -1.40964635 148.353882 -80.766786
    Unten links KachelX 59774 KachelY + 1 59016 2.58916782 -1.40966173 148.348389 -80.767668
    Unten rechts KachelX + 1 59775 KachelY + 1 59016 2.58926370 -1.40966173 148.353882 -80.767668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40964635--1.40966173) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dl = 97.9859800000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40964635--1.40966173) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dr = 97.9859800000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58916782-2.58926370) × cos(-1.40964635) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160453389486289 × 6371000     		do = 98.013190438652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58916782-2.58926370) × cos(-1.40966173) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160438208739538 × 6371000     		du = 98.0039172570313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40964635)-sin(-1.40966173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160453389486289-0.160438208739538)×R²
    abs(2.58926370-2.58916782)×1.5180746751553e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.5180746751553e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.5180746751553e-05×40589641000000     		ar = 9603.46419751917m²