Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59774 / 35690
↖ ↑ ↗
← N 63.102215°
W 15.825806°		 ← 138.17 m → N 63.102215°
W 15.823059°		 →
↑
138.12 m
↓
↑
138.12 m
↓
N 63.100972°
W 15.825806°		 ← 138.18 m →
19 086 m²		 N 63.100972°
W 15.823059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456043243408203 y=0.272296905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456043243408203 × 217)
    floor (0.456043243408203 × 131072)
    floor (59774.5)     		tx = 59774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272296905517578 × 217)
    floor (0.272296905517578 × 131072)
    floor (35690.5)     		ty = 35690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59774 / 35690 ti = "17/59774/35690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59774/35690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59774 ÷ 217
    59774 ÷ 131072     		x = 0.456039428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35690 ÷ 217
    35690 ÷ 131072     		y = 0.272293090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456039428710938 × 2 - 1) × π
    -0.087921142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27621242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272293090820312 × 2 - 1) × π
    0.455413818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4307247060602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27621242} λ = -0.27621242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4307247060602))-π/2
    2×atan(4.18172861814055)-π/2
    2×1.3360688696854-π/2
    2.67213773937081-1.57079632675     		φ = 1.10134141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27621242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.825806°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10134141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.102215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59774 KachelY 35690 -0.27621242 1.10134141 -15.825806 63.102215
    Oben rechts KachelX + 1 59775 KachelY 35690 -0.27616448 1.10134141 -15.823059 63.102215
    Unten links KachelX 59774 KachelY + 1 35691 -0.27621242 1.10131973 -15.825806 63.100972
    Unten rechts KachelX + 1 59775 KachelY + 1 35691 -0.27616448 1.10131973 -15.823059 63.100972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10134141-1.10131973) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dl = 138.12328000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10134141-1.10131973) × R
    2.16800000001349e-05 × 6371000     		dr = 138.12328000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27621242--0.27616448) × cos(1.10134141) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.452400239223224 × 6371000     		do = 138.174677841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27621242--0.27616448) × cos(1.10131973) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.45241957366646 × 6371000     		du = 138.180583077632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10134141)-sin(1.10131973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452400239223224-0.45241957366646)×R²
    abs(-0.27616448--0.27621242)×1.93344432359299e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93344432359299e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93344432359299e-05×40589641000000     		ar = 19085.5475426214m²