Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59773 / 85109
↖ ↑ ↗
← S 47.258728°
W 15.828552°		 ← 207.25 m → S 47.258728°
W 15.825806°		 →
↑
207.25 m
↓
↑
207.25 m
↓
S 47.260592°
W 15.828552°		 ← 207.24 m →
42 951 m²		 S 47.260592°
W 15.825806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456035614013672 y=0.649333953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456035614013672 × 217)
    floor (0.456035614013672 × 131072)
    floor (59773.5)     		tx = 59773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649333953857422 × 217)
    floor (0.649333953857422 × 131072)
    floor (85109.5)     		ty = 85109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59773 / 85109 ti = "17/59773/85109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59773/85109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59773 ÷ 217
    59773 ÷ 131072     		x = 0.456031799316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85109 ÷ 217
    85109 ÷ 131072     		y = 0.649330139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456031799316406 × 2 - 1) × π
    -0.0879364013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27626035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649330139160156 × 2 - 1) × π
    -0.298660278320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.938268936263359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27626035} λ = -0.27626035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.938268936263359))-π/2
    2×atan(0.391304622650798)-π/2
    2×0.372987960131633-π/2
    0.745975920263265-1.57079632675     		φ = -0.82482041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27626035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.828552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82482041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.258728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59773 KachelY 85109 -0.27626035 -0.82482041 -15.828552 -47.258728
    Oben rechts KachelX + 1 59774 KachelY 85109 -0.27621242 -0.82482041 -15.825806 -47.258728
    Unten links KachelX 59773 KachelY + 1 85110 -0.27626035 -0.82485294 -15.828552 -47.260592
    Unten rechts KachelX + 1 59774 KachelY + 1 85110 -0.27621242 -0.82485294 -15.825806 -47.260592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82482041--0.82485294) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dl = 207.248630000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82482041--0.82485294) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dr = 207.248630000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27626035--0.27621242) × cos(-0.82482041) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.678688872116742 × 6371000     		do = 207.245811727866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27626035--0.27621242) × cos(-0.82485294) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.678664980882853 × 6371000     		du = 207.238516252186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82482041)-sin(-0.82485294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678688872116742-0.678664980882853)×R²
    abs(-0.27621242--0.27626035)×2.38912338892394e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38912338892394e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38912338892394e-05×40589641000000     		ar = 42950.6545690536m²