Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59772 / 85107
↖ ↑ ↗
← S 47.255000°
W 15.831299°		 ← 207.30 m → S 47.255000°
W 15.828552°		 →
↑
207.25 m
↓
↑
207.25 m
↓
S 47.256864°
W 15.831299°		 ← 207.30 m →
42 963 m²		 S 47.256864°
W 15.828552°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456027984619141 y=0.649318695068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456027984619141 × 217)
    floor (0.456027984619141 × 131072)
    floor (59772.5)     		tx = 59772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649318695068359 × 217)
    floor (0.649318695068359 × 131072)
    floor (85107.5)     		ty = 85107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59772 / 85107 ti = "17/59772/85107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59772/85107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59772 ÷ 217
    59772 ÷ 131072     		x = 0.456024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85107 ÷ 217
    85107 ÷ 131072     		y = 0.649314880371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456024169921875 × 2 - 1) × π
    -0.08795166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27630829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649314880371094 × 2 - 1) × π
    -0.298629760742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.938173062464119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27630829} λ = -0.27630829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.938173062464119))-π/2
    2×atan(0.391342140310084)-π/2
    2×0.373020495517498-π/2
    0.746040991034997-1.57079632675     		φ = -0.82475534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27630829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.831299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82475534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.255000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59772 KachelY 85107 -0.27630829 -0.82475534 -15.831299 -47.255000
    Oben rechts KachelX + 1 59773 KachelY 85107 -0.27626035 -0.82475534 -15.828552 -47.255000
    Unten links KachelX 59772 KachelY + 1 85108 -0.27630829 -0.82478787 -15.831299 -47.256864
    Unten rechts KachelX + 1 59773 KachelY + 1 85108 -0.27626035 -0.82478787 -15.828552 -47.256864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82475534--0.82478787) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dl = 207.248630000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82475534--0.82478787) × R
    3.25300000000306e-05 × 6371000     		dr = 207.248630000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27630829--0.27626035) × cos(-0.82475534) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678736659773745 × 6371000     		do = 207.303646576628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27630829--0.27626035) × cos(-0.82478787) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67871276997648 × 6371000     		du = 207.29635001762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82475534)-sin(-0.82478787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678736659773745-0.67871276997648)×R²
    abs(-0.27626035--0.27630829)×2.38897972647534e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38897972647534e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38897972647534e-05×40589641000000     		ar = 42962.6406499061m²