Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59771 / 35691
↖ ↑ ↗
← N 63.100972°
W 15.834046°		 ← 138.18 m → N 63.100972°
W 15.831299°		 →
↑
138.19 m
↓
↑
138.19 m
↓
N 63.099730°
W 15.834046°		 ← 138.19 m →
19 095 m²		 N 63.099730°
W 15.831299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456020355224609 y=0.272304534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456020355224609 × 217)
    floor (0.456020355224609 × 131072)
    floor (59771.5)     		tx = 59771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272304534912109 × 217)
    floor (0.272304534912109 × 131072)
    floor (35691.5)     		ty = 35691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59771 / 35691 ti = "17/59771/35691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59771/35691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59771 ÷ 217
    59771 ÷ 131072     		x = 0.456016540527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35691 ÷ 217
    35691 ÷ 131072     		y = 0.272300720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456016540527344 × 2 - 1) × π
    -0.0879669189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27635623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272300720214844 × 2 - 1) × π
    0.455398559570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.43067676916058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27635623} λ = -0.27635623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43067676916058))-π/2
    2×atan(4.18152816384016)-π/2
    2×1.33605802612125-π/2
    2.6721160522425-1.57079632675     		φ = 1.10131973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27635623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.834046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10131973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.100972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59771 KachelY 35691 -0.27635623 1.10131973 -15.834046 63.100972
    Oben rechts KachelX + 1 59772 KachelY 35691 -0.27630829 1.10131973 -15.831299 63.100972
    Unten links KachelX 59771 KachelY + 1 35692 -0.27635623 1.10129804 -15.834046 63.099730
    Unten rechts KachelX + 1 59772 KachelY + 1 35692 -0.27630829 1.10129804 -15.831299 63.099730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10131973-1.10129804) × R
    2.16899999998521e-05 × 6371000     		dl = 138.186989999058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10131973-1.10129804) × R
    2.16899999998521e-05 × 6371000     		dr = 138.186989999058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27635623--0.27630829) × cos(1.10131973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45241957366646 × 6371000     		do = 138.180583077472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27635623--0.27630829) × cos(1.10129804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.452438916815002 × 6371000     		du = 138.18649097293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10131973)-sin(1.10129804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45241957366646-0.452438916815002)×R²
    abs(-0.27630829--0.27635623)×1.93431485423501e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93431485423501e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93431485423501e-05×40589641000000     		ar = 19095.167049618m²