Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59770 / 85152
↖ ↑ ↗
← S 47.338823°
W 15.836792°		 ← 206.93 m → S 47.338823°
W 15.834046°		 →
↑
206.93 m
↓
↑
206.93 m
↓
S 47.340684°
W 15.836792°		 ← 206.92 m →
42 820 m²		 S 47.340684°
W 15.834046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456012725830078 y=0.649662017822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456012725830078 × 217)
    floor (0.456012725830078 × 131072)
    floor (59770.5)     		tx = 59770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649662017822266 × 217)
    floor (0.649662017822266 × 131072)
    floor (85152.5)     		ty = 85152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59770 / 85152 ti = "17/59770/85152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59770/85152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59770 ÷ 217
    59770 ÷ 131072     		x = 0.456008911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85152 ÷ 217
    85152 ÷ 131072     		y = 0.649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456008911132812 × 2 - 1) × π
    -0.087982177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27640416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.29931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.940330222947022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27640416} λ = -0.27640416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940330222947022))-π/2
    2×atan(0.390498862379631)-π/2
    2×0.372289003385326-π/2
    0.744578006770651-1.57079632675     		φ = -0.82621832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27640416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.836792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82621832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.338823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59770 KachelY 85152 -0.27640416 -0.82621832 -15.836792 -47.338823
    Oben rechts KachelX + 1 59771 KachelY 85152 -0.27635623 -0.82621832 -15.834046 -47.338823
    Unten links KachelX 59770 KachelY + 1 85153 -0.27640416 -0.82625080 -15.836792 -47.340684
    Unten rechts KachelX + 1 59771 KachelY + 1 85153 -0.27635623 -0.82625080 -15.834046 -47.340684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82621832--0.82625080) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dl = 206.930080000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82621832--0.82625080) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dr = 206.930080000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27640416--0.27635623) × cos(-0.82621832) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.677661547998942 × 6371000     		do = 206.932105950026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27640416--0.27635623) × cos(-0.82625080) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.677637662696042 × 6371000     		du = 206.924812285445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82621832)-sin(-0.82625080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677661547998942-0.677637662696042)×R²
    abs(-0.27635623--0.27640416)×2.38853029004282e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38853029004282e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38853029004282e-05×40589641000000     		ar = 42819.7226033777m²