Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5977 / 6887
↖ ↑ ↗
← N 27.547241°
W 48.669434°		 ← 2 166.23 m → N 27.547241°
W 48.647461°		 →
↑
2 166.39 m
↓
↑
2 166.39 m
↓
N 27.527758°
W 48.669434°		 ← 2 166.61 m →
4 693 319 m²		 N 27.527758°
W 48.647461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364837646484375 y=0.420379638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364837646484375 × 214)
    floor (0.364837646484375 × 16384)
    floor (5977.5)     		tx = 5977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420379638671875 × 214)
    floor (0.420379638671875 × 16384)
    floor (6887.5)     		ty = 6887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5977 / 6887 ti = "14/5977/6887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5977/6887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5977 ÷ 214
    5977 ÷ 16384     		x = 0.36480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6887 ÷ 214
    6887 ÷ 16384     		y = 0.42034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.2703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84944186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42034912109375 × 2 - 1) × π
    0.1593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.500461232033386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84944186} λ = -0.84944186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500461232033386))-π/2
    2×atan(1.64948188916162)-π/2
    2×1.02579319580325-π/2
    2.05158639160651-1.57079632675     		φ = 0.48079006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84944186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.669434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48079006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.547241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5977 KachelY 6887 -0.84944186 0.48079006 -48.669434 27.547241
    Oben rechts KachelX + 1 5978 KachelY 6887 -0.84905837 0.48079006 -48.647461 27.547241
    Unten links KachelX 5977 KachelY + 1 6888 -0.84944186 0.48045002 -48.669434 27.527758
    Unten rechts KachelX + 1 5978 KachelY + 1 6888 -0.84905837 0.48045002 -48.647461 27.527758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48079006-0.48045002) × R
    0.000340040000000041 × 6371000     		dl = 2166.39484000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48079006-0.48045002) × R
    0.000340040000000041 × 6371000     		dr = 2166.39484000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84944186--0.84905837) × cos(0.48079006) × R
    0.000383490000000042 × 0.886629812733014 × 6371000     		do = 2166.22707172447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84944186--0.84905837) × cos(0.48045002) × R
    0.000383490000000042 × 0.886787023105504 × 6371000     		du = 2166.61117043167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48079006)-sin(0.48045002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886629812733014-0.886787023105504)×R²
    abs(-0.84905837--0.84944186)×0.000157210372489724×R²
    0.000383490000000042×0.000157210372489724×6371000²
    0.000383490000000042×0.000157210372489724×40589641000000     		ar = 4693319.25040425m²