Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5977 / 6881
↖ ↑ ↗
← N 27.664069°
W 48.669434°		 ← 2 163.92 m → N 27.664069°
W 48.647461°		 →
↑
2 164.16 m
↓
↑
2 164.16 m
↓
N 27.644606°
W 48.669434°		 ← 2 164.30 m →
4 683 494 m²		 N 27.644606°
W 48.647461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364837646484375 y=0.420013427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364837646484375 × 214)
    floor (0.364837646484375 × 16384)
    floor (5977.5)     		tx = 5977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420013427734375 × 214)
    floor (0.420013427734375 × 16384)
    floor (6881.5)     		ty = 6881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5977 / 6881 ti = "14/5977/6881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5977/6881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5977 ÷ 214
    5977 ÷ 16384     		x = 0.36480712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6881 ÷ 214
    6881 ÷ 16384     		y = 0.41998291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.2703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84944186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41998291015625 × 2 - 1) × π
    0.1600341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.502762203215149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84944186} λ = -0.84944186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502762203215149))-π/2
    2×atan(1.65328166936931)-π/2
    2×1.02681270736346-π/2
    2.05362541472691-1.57079632675     		φ = 0.48282909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84944186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.669434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48282909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.664069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5977 KachelY 6881 -0.84944186 0.48282909 -48.669434 27.664069
    Oben rechts KachelX + 1 5978 KachelY 6881 -0.84905837 0.48282909 -48.647461 27.664069
    Unten links KachelX 5977 KachelY + 1 6882 -0.84944186 0.48248940 -48.669434 27.644606
    Unten rechts KachelX + 1 5978 KachelY + 1 6882 -0.84905837 0.48248940 -48.647461 27.644606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48282909-0.48248940) × R
    0.000339690000000004 × 6371000     		dl = 2164.16499000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48282909-0.48248940) × R
    0.000339690000000004 × 6371000     		dr = 2164.16499000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84944186--0.84905837) × cos(0.48282909) × R
    0.000383490000000042 × 0.885684960033714 × 6371000     		do = 2163.91859363516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84944186--0.84905837) × cos(0.48248940) × R
    0.000383490000000042 × 0.885842622484829 × 6371000     		du = 2164.30379686756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48282909)-sin(0.48248940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885684960033714-0.885842622484829)×R²
    abs(-0.84905837--0.84944186)×0.000157662451115148×R²
    0.000383490000000042×0.000157662451115148×6371000²
    0.000383490000000042×0.000157662451115148×40589641000000     		ar = 4683493.72826519m²