Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59769 / 82889
↖ ↑ ↗
← S 42.958433°
W 15.839539°		 ← 223.53 m → S 42.958433°
W 15.836792°		 →
↑
223.49 m
↓
↑
223.49 m
↓
S 42.960443°
W 15.839539°		 ← 223.52 m →
49 956 m²		 S 42.960443°
W 15.836792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456005096435547 y=0.632396697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456005096435547 × 217)
    floor (0.456005096435547 × 131072)
    floor (59769.5)     		tx = 59769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632396697998047 × 217)
    floor (0.632396697998047 × 131072)
    floor (82889.5)     		ty = 82889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59769 / 82889 ti = "17/59769/82889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59769/82889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59769 ÷ 217
    59769 ÷ 131072     		x = 0.456001281738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82889 ÷ 217
    82889 ÷ 131072     		y = 0.632392883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456001281738281 × 2 - 1) × π
    -0.0879974365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27645210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632392883300781 × 2 - 1) × π
    -0.264785766601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.831849019106834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27645210} λ = -0.27645210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831849019106834))-π/2
    2×atan(0.435243767798672)-π/2
    2×0.410515118002597-π/2
    0.821030236005193-1.57079632675     		φ = -0.74976609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27645210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.839539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74976609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.958433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59769 KachelY 82889 -0.27645210 -0.74976609 -15.839539 -42.958433
    Oben rechts KachelX + 1 59770 KachelY 82889 -0.27640416 -0.74976609 -15.836792 -42.958433
    Unten links KachelX 59769 KachelY + 1 82890 -0.27645210 -0.74980117 -15.839539 -42.960443
    Unten rechts KachelX + 1 59770 KachelY + 1 82890 -0.27640416 -0.74980117 -15.836792 -42.960443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74976609--0.74980117) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dl = 223.494679999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74976609--0.74980117) × R
    3.50799999999651e-05 × 6371000     		dr = 223.494679999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27645210--0.27640416) × cos(-0.74976609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.731848290977953 × 6371000     		do = 223.52530583953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27645210--0.27640416) × cos(-0.74980117) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.73182438464452 × 6371000     		du = 223.518004229951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74976609)-sin(-0.74980117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731848290977953-0.73182438464452)×R²
    abs(-0.27640416--0.27645210)×2.39063334321887e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39063334321887e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39063334321887e-05×40589641000000     		ar = 49955.9007700883m²