Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59768 / 35737
↖ ↑ ↗
← N 63.043756°
W 15.842285°		 ← 138.45 m → N 63.043756°
W 15.839539°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
N 63.042511°
W 15.842285°		 ← 138.46 m →
19 168 m²		 N 63.042511°
W 15.839539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455997467041016 y=0.272655487060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455997467041016 × 217)
    floor (0.455997467041016 × 131072)
    floor (59768.5)     		tx = 59768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272655487060547 × 217)
    floor (0.272655487060547 × 131072)
    floor (35737.5)     		ty = 35737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59768 / 35737 ti = "17/59768/35737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59768/35737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59768 ÷ 217
    59768 ÷ 131072     		x = 0.45599365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35737 ÷ 217
    35737 ÷ 131072     		y = 0.272651672363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45599365234375 × 2 - 1) × π
    -0.0880126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27650004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272651672363281 × 2 - 1) × π
    0.454696655273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.42847167177805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27650004} λ = -0.27650004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42847167177805))-π/2
    2×atan(4.17231764580788)-π/2
    2×1.33555872080542-π/2
    2.67111744161084-1.57079632675     		φ = 1.10032111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27650004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.842285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10032111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.043756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59768 KachelY 35737 -0.27650004 1.10032111 -15.842285 63.043756
    Oben rechts KachelX + 1 59769 KachelY 35737 -0.27645210 1.10032111 -15.839539 63.043756
    Unten links KachelX 59768 KachelY + 1 35738 -0.27650004 1.10029938 -15.842285 63.042511
    Unten rechts KachelX + 1 59769 KachelY + 1 35738 -0.27645210 1.10029938 -15.839539 63.042511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10032111-1.10029938) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dl = 138.441830000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10032111-1.10029938) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dr = 138.441830000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27650004--0.27645210) × cos(1.10032111) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453309922449588 × 6371000     		do = 138.452518513578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27650004--0.27645210) × cos(1.10029938) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.453329291442564 × 6371000     		du = 138.45843430259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10032111)-sin(1.10029938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453309922449588-0.453329291442564)×R²
    abs(-0.27645210--0.27650004)×1.93689929762209e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93689929762209e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93689929762209e-05×40589641000000     		ar = 19168.0295284088m²