Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59767 / 85181
↖ ↑ ↗
← S 47.392771°
W 15.845032°		 ← 206.72 m → S 47.392771°
W 15.842285°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
S 47.394631°
W 15.845032°		 ← 206.71 m →
42 736 m²		 S 47.394631°
W 15.842285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455989837646484 y=0.649883270263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455989837646484 × 217)
    floor (0.455989837646484 × 131072)
    floor (59767.5)     		tx = 59767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649883270263672 × 217)
    floor (0.649883270263672 × 131072)
    floor (85181.5)     		ty = 85181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59767 / 85181 ti = "17/59767/85181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59767/85181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59767 ÷ 217
    59767 ÷ 131072     		x = 0.455986022949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85181 ÷ 217
    85181 ÷ 131072     		y = 0.649879455566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455986022949219 × 2 - 1) × π
    -0.0880279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27654797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649879455566406 × 2 - 1) × π
    -0.299758911132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.941720393036003
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27654797} λ = -0.27654797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941720393036003))-π/2
    2×atan(0.389956379700332)-π/2
    2×0.371818211732659-π/2
    0.743636423465318-1.57079632675     		φ = -0.82715990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27654797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.845032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82715990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.392771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59767 KachelY 85181 -0.27654797 -0.82715990 -15.845032 -47.392771
    Oben rechts KachelX + 1 59768 KachelY 85181 -0.27650004 -0.82715990 -15.842285 -47.392771
    Unten links KachelX 59767 KachelY + 1 85182 -0.27654797 -0.82719235 -15.845032 -47.394631
    Unten rechts KachelX + 1 59768 KachelY + 1 85182 -0.27650004 -0.82719235 -15.842285 -47.394631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82715990--0.82719235) × R
    3.24500000000727e-05 × 6371000     		dl = 206.738950000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82715990--0.82719235) × R
    3.24500000000727e-05 × 6371000     		dr = 206.738950000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27654797--0.27650004) × cos(-0.82715990) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.676968834312043 × 6371000     		do = 206.720577492146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27654797--0.27650004) × cos(-0.82719235) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.676944950376512 × 6371000     		du = 206.713284245108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82715990)-sin(-0.82719235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676968834312043-0.676944950376512)×R²
    abs(-0.27650004--0.27654797)×2.38839355309883e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38839355309883e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38839355309883e-05×40589641000000     		ar = 42736.4412388511m²