Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59766 / 85098
↖ ↑ ↗
← S 47.238219°
W 15.847778°		 ← 207.37 m → S 47.238219°
W 15.845032°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
S 47.240084°
W 15.847778°		 ← 207.36 m →
43 003 m²		 S 47.240084°
W 15.845032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455982208251953 y=0.649250030517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455982208251953 × 217)
    floor (0.455982208251953 × 131072)
    floor (59766.5)     		tx = 59766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649250030517578 × 217)
    floor (0.649250030517578 × 131072)
    floor (85098.5)     		ty = 85098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59766 / 85098 ti = "17/59766/85098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59766/85098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59766 ÷ 217
    59766 ÷ 131072     		x = 0.455978393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85098 ÷ 217
    85098 ÷ 131072     		y = 0.649246215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455978393554688 × 2 - 1) × π
    -0.088043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27659591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649246215820312 × 2 - 1) × π
    -0.298492431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.937741630367538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27659591} λ = -0.27659591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937741630367538))-π/2
    2×atan(0.391511014296367)-π/2
    2×0.373166933103267-π/2
    0.746333866206534-1.57079632675     		φ = -0.82446246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27659591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.847778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82446246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.238219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59766 KachelY 85098 -0.27659591 -0.82446246 -15.847778 -47.238219
    Oben rechts KachelX + 1 59767 KachelY 85098 -0.27654797 -0.82446246 -15.845032 -47.238219
    Unten links KachelX 59766 KachelY + 1 85099 -0.27659591 -0.82449501 -15.847778 -47.240084
    Unten rechts KachelX + 1 59767 KachelY + 1 85099 -0.27654797 -0.82449501 -15.845032 -47.240084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82446246--0.82449501) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82446246--0.82449501) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27659591--0.27654797) × cos(-0.82446246) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678951716385432 × 6371000     		do = 207.369330401395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27659591--0.27654797) × cos(-0.82449501) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678927818371564 × 6371000     		du = 207.362031332825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82446246)-sin(-0.82449501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678951716385432-0.678927818371564)×R²
    abs(-0.27654797--0.27659591)×2.389801386804e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.389801386804e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.389801386804e-05×40589641000000     		ar = 43002.6758077633m²