Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59766 / 30345
↖ ↑ ↗
← N 69.028296°
W 15.847778°		 ← 109.31 m → N 69.028296°
W 15.845032°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
N 69.027313°
W 15.847778°		 ← 109.32 m →
11 951 m²		 N 69.027313°
W 15.845032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455982208251953 y=0.231517791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455982208251953 × 217)
    floor (0.455982208251953 × 131072)
    floor (59766.5)     		tx = 59766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231517791748047 × 217)
    floor (0.231517791748047 × 131072)
    floor (30345.5)     		ty = 30345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59766 / 30345 ti = "17/59766/30345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59766/30345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59766 ÷ 217
    59766 ÷ 131072     		x = 0.455978393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30345 ÷ 217
    30345 ÷ 131072     		y = 0.231513977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455978393554688 × 2 - 1) × π
    -0.088043212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27659591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231513977050781 × 2 - 1) × π
    0.536972045898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.6869474345294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27659591} λ = -0.27659591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6869474345294))-π/2
    2×atan(5.4029626095727)-π/2
    2×1.38778368721503-π/2
    2.77556737443005-1.57079632675     		φ = 1.20477105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27659591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.847778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20477105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.028296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59766 KachelY 30345 -0.27659591 1.20477105 -15.847778 69.028296
    Oben rechts KachelX + 1 59767 KachelY 30345 -0.27654797 1.20477105 -15.845032 69.028296
    Unten links KachelX 59766 KachelY + 1 30346 -0.27659591 1.20475389 -15.847778 69.027313
    Unten rechts KachelX + 1 59767 KachelY + 1 30346 -0.27654797 1.20475389 -15.845032 69.027313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20477105-1.20475389) × R
    1.71599999998495e-05 × 6371000     		dl = 109.326359999041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20477105-1.20475389) × R
    1.71599999998495e-05 × 6371000     		dr = 109.326359999041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27659591--0.27654797) × cos(1.20477105) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357906842113806 × 6371000     		do = 109.313962103727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27659591--0.27654797) × cos(1.20475389) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35792286533635 × 6371000     		du = 109.31885600833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20477105)-sin(1.20475389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357906842113806-0.35792286533635)×R²
    abs(-0.27654797--0.27659591)×1.6023222544459e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.6023222544459e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.6023222544459e-05×40589641000000     		ar = 11951.1650905691m²