Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59765 / 85095
↖ ↑ ↗
← S 47.232624°
W 15.850525°		 ← 207.39 m → S 47.232624°
W 15.847778°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
S 47.234489°
W 15.850525°		 ← 207.38 m →
43 007 m²		 S 47.234489°
W 15.847778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455974578857422 y=0.649227142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455974578857422 × 217)
    floor (0.455974578857422 × 131072)
    floor (59765.5)     		tx = 59765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649227142333984 × 217)
    floor (0.649227142333984 × 131072)
    floor (85095.5)     		ty = 85095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59765 / 85095 ti = "17/59765/85095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59765/85095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59765 ÷ 217
    59765 ÷ 131072     		x = 0.455970764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85095 ÷ 217
    85095 ÷ 131072     		y = 0.649223327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455970764160156 × 2 - 1) × π
    -0.0880584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27664385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649223327636719 × 2 - 1) × π
    -0.298446655273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.937597819668678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27664385} λ = -0.27664385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937597819668678))-π/2
    2×atan(0.39156732181766)-π/2
    2×0.373215755940966-π/2
    0.746431511881931-1.57079632675     		φ = -0.82436481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27664385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.850525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82436481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.232624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59765 KachelY 85095 -0.27664385 -0.82436481 -15.850525 -47.232624
    Oben rechts KachelX + 1 59766 KachelY 85095 -0.27659591 -0.82436481 -15.847778 -47.232624
    Unten links KachelX 59765 KachelY + 1 85096 -0.27664385 -0.82439736 -15.850525 -47.234489
    Unten rechts KachelX + 1 59766 KachelY + 1 85096 -0.27659591 -0.82439736 -15.847778 -47.234489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82436481--0.82439736) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82436481--0.82439736) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27664385--0.27659591) × cos(-0.82436481) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679023406110829 × 6371000     		do = 207.391226288825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27664385--0.27659591) × cos(-0.82439736) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67899951025509 × 6371000     		du = 207.383927879403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82436481)-sin(-0.82439736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679023406110829-0.67899951025509)×R²
    abs(-0.27659591--0.27664385)×2.38958557389202e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38958557389202e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38958557389202e-05×40589641000000     		ar = 43007.2165585643m²