Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59765 / 30353
↖ ↑ ↗
← N 69.020431°
W 15.850525°		 ← 109.35 m → N 69.020431°
W 15.847778°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
N 69.019447°
W 15.850525°		 ← 109.36 m →
11 962 m²		 N 69.019447°
W 15.847778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455974578857422 y=0.231578826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455974578857422 × 217)
    floor (0.455974578857422 × 131072)
    floor (59765.5)     		tx = 59765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231578826904297 × 217)
    floor (0.231578826904297 × 131072)
    floor (30353.5)     		ty = 30353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59765 / 30353 ti = "17/59765/30353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59765/30353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59765 ÷ 217
    59765 ÷ 131072     		x = 0.455970764160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30353 ÷ 217
    30353 ÷ 131072     		y = 0.231575012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455970764160156 × 2 - 1) × π
    -0.0880584716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27664385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231575012207031 × 2 - 1) × π
    0.536849975585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.68656393933244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27664385} λ = -0.27664385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68656393933244))-π/2
    2×atan(5.40089099661477)-π/2
    2×1.38771504714839-π/2
    2.77543009429677-1.57079632675     		φ = 1.20463377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27664385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.850525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20463377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.020431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59765 KachelY 30353 -0.27664385 1.20463377 -15.850525 69.020431
    Oben rechts KachelX + 1 59766 KachelY 30353 -0.27659591 1.20463377 -15.847778 69.020431
    Unten links KachelX 59765 KachelY + 1 30354 -0.27664385 1.20461660 -15.850525 69.019447
    Unten rechts KachelX + 1 59766 KachelY + 1 30354 -0.27659591 1.20461660 -15.847778 69.019447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20463377-1.20461660) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20463377-1.20461660) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27664385--0.27659591) × cos(1.20463377) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.358035024942811 × 6371000     		do = 109.353112439131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27664385--0.27659591) × cos(1.20461660) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.358051056659076 × 6371000     		du = 109.358008937935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20463377)-sin(1.20461660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358035024942811-0.358051056659076)×R²
    abs(-0.27659591--0.27664385)×1.60317162648527e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60317162648527e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60317162648527e-05×40589641000000     		ar = 11962.4124387608m²