Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59764 / 85096
↖ ↑ ↗
← S 47.234489°
W 15.853271°		 ← 207.34 m → S 47.234489°
W 15.850525°		 →
↑
207.38 m
↓
↑
207.38 m
↓
S 47.236354°
W 15.853271°		 ← 207.33 m →
42 997 m²		 S 47.236354°
W 15.850525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455966949462891 y=0.649234771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455966949462891 × 217)
    floor (0.455966949462891 × 131072)
    floor (59764.5)     		tx = 59764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649234771728516 × 217)
    floor (0.649234771728516 × 131072)
    floor (85096.5)     		ty = 85096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59764 / 85096 ti = "17/59764/85096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59764/85096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59764 ÷ 217
    59764 ÷ 131072     		x = 0.455963134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85096 ÷ 217
    85096 ÷ 131072     		y = 0.64923095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455963134765625 × 2 - 1) × π
    -0.08807373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27669178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.2984619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.937645756568298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27669178} λ = -0.27669178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.937645756568298))-π/2
    2×atan(0.391548551744152)-π/2
    2×0.373199481088994-π/2
    0.746398962177987-1.57079632675     		φ = -0.82439736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27669178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.853271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82439736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.234489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59764 KachelY 85096 -0.27669178 -0.82439736 -15.853271 -47.234489
    Oben rechts KachelX + 1 59765 KachelY 85096 -0.27664385 -0.82439736 -15.850525 -47.234489
    Unten links KachelX 59764 KachelY + 1 85097 -0.27669178 -0.82442991 -15.853271 -47.236354
    Unten rechts KachelX + 1 59765 KachelY + 1 85097 -0.27664385 -0.82442991 -15.850525 -47.236354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82439736--0.82442991) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dl = 207.376050000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82439736--0.82442991) × R
    3.25500000000201e-05 × 6371000     		dr = 207.376050000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27669178--0.27664385) × cos(-0.82439736) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.67899951025509 × 6371000     		do = 207.340668820387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27669178--0.27664385) × cos(-0.82442991) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.678975613679949 × 6371000     		du = 207.333371713692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82439736)-sin(-0.82442991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67899951025509-0.678975613679949)×R²
    abs(-0.27664385--0.27669178)×2.38965751406806e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38965751406806e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38965751406806e-05×40589641000000     		ar = 42996.732285549m²