Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59763 / 30344
↖ ↑ ↗
← N 69.029279°
W 15.856018°		 ← 109.31 m → N 69.029279°
W 15.853271°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
N 69.028296°
W 15.856018°		 ← 109.31 m →
11 944 m²		 N 69.028296°
W 15.853271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455959320068359 y=0.231510162353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455959320068359 × 217)
    floor (0.455959320068359 × 131072)
    floor (59763.5)     		tx = 59763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231510162353516 × 217)
    floor (0.231510162353516 × 131072)
    floor (30344.5)     		ty = 30344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59763 / 30344 ti = "17/59763/30344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59763/30344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59763 ÷ 217
    59763 ÷ 131072     		x = 0.455955505371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30344 ÷ 217
    30344 ÷ 131072     		y = 0.23150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455955505371094 × 2 - 1) × π
    -0.0880889892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27673972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23150634765625 × 2 - 1) × π
    0.5369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68699537142902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27673972} λ = -0.27673972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68699537142902))-π/2
    2×atan(5.40322161705693)-π/2
    2×1.38779226549527-π/2
    2.77558453099054-1.57079632675     		φ = 1.20478820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27673972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.856018°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20478820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.029279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59763 KachelY 30344 -0.27673972 1.20478820 -15.856018 69.029279
    Oben rechts KachelX + 1 59764 KachelY 30344 -0.27669178 1.20478820 -15.853271 69.029279
    Unten links KachelX 59763 KachelY + 1 30345 -0.27673972 1.20477105 -15.856018 69.028296
    Unten rechts KachelX + 1 59764 KachelY + 1 30345 -0.27669178 1.20477105 -15.853271 69.028296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20478820-1.20477105) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dl = 109.262650000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20478820-1.20477105) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dr = 109.262650000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27673972--0.27669178) × cos(1.20478820) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357890828123504 × 6371000     		do = 109.309071018889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27673972--0.27669178) × cos(1.20477105) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357906842113806 × 6371000     		du = 109.313962103727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20478820)-sin(1.20477105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357890828123504-0.357906842113806)×R²
    abs(-0.27669178--0.27673972)×1.60139903015999e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60139903015999e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60139903015999e-05×40589641000000     		ar = 11943.6659753636m²