Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59762 / 30358
↖ ↑ ↗
← N 69.015513°
W 15.858765°		 ← 109.38 m → N 69.015513°
W 15.856018°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
N 69.014530°
W 15.858765°		 ← 109.38 m →
11 958 m²		 N 69.014530°
W 15.856018°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455951690673828 y=0.231616973876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455951690673828 × 217)
    floor (0.455951690673828 × 131072)
    floor (59762.5)     		tx = 59762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231616973876953 × 217)
    floor (0.231616973876953 × 131072)
    floor (30358.5)     		ty = 30358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59762 / 30358 ti = "17/59762/30358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59762/30358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59762 ÷ 217
    59762 ÷ 131072     		x = 0.455947875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30358 ÷ 217
    30358 ÷ 131072     		y = 0.231613159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455947875976562 × 2 - 1) × π
    -0.088104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27678766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231613159179688 × 2 - 1) × π
    0.536773681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68632425483434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27678766} λ = -0.27678766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68632425483434))-π/2
    2×atan(5.39959664189153)-π/2
    2×1.3876721346239-π/2
    2.7753442692478-1.57079632675     		φ = 1.20454794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27678766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.858765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20454794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.015513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59762 KachelY 30358 -0.27678766 1.20454794 -15.858765 69.015513
    Oben rechts KachelX + 1 59763 KachelY 30358 -0.27673972 1.20454794 -15.856018 69.015513
    Unten links KachelX 59762 KachelY + 1 30359 -0.27678766 1.20453078 -15.858765 69.014530
    Unten rechts KachelX + 1 59763 KachelY + 1 30359 -0.27673972 1.20453078 -15.856018 69.014530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20454794-1.20453078) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dl = 109.326360000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20454794-1.20453078) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dr = 109.326360000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27678766--0.27673972) × cos(1.20454794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358115163794973 × 6371000     		do = 109.377588907229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27678766--0.27673972) × cos(1.20453078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358131185646818 × 6371000     		du = 109.382482393185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20454794)-sin(1.20453078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358115163794973-0.358131185646818)×R²
    abs(-0.27673972--0.27678766)×1.60218518446831e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60218518446831e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60218518446831e-05×40589641000000     		ar = 11958.1211546383m²