Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59761 / 30225
↖ ↑ ↗
← N 69.145942°
W 15.861511°		 ← 108.73 m → N 69.145942°
W 15.858765°		 →
↑
108.75 m
↓
↑
108.75 m
↓
N 69.144964°
W 15.861511°		 ← 108.73 m →
11 825 m²		 N 69.144964°
W 15.858765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455944061279297 y=0.230602264404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455944061279297 × 217)
    floor (0.455944061279297 × 131072)
    floor (59761.5)     		tx = 59761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230602264404297 × 217)
    floor (0.230602264404297 × 131072)
    floor (30225.5)     		ty = 30225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59761 / 30225 ti = "17/59761/30225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59761/30225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59761 ÷ 217
    59761 ÷ 131072     		x = 0.455940246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30225 ÷ 217
    30225 ÷ 131072     		y = 0.230598449707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455940246582031 × 2 - 1) × π
    -0.0881195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27683560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230598449707031 × 2 - 1) × π
    0.538803100585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.6926998624838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27683560} λ = -0.27683560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6926998624838))-π/2
    2×atan(5.43413232755158)-π/2
    2×1.38881034341452-π/2
    2.77762068682904-1.57079632675     		φ = 1.20682436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27683560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.861511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20682436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.145942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59761 KachelY 30225 -0.27683560 1.20682436 -15.861511 69.145942
    Oben rechts KachelX + 1 59762 KachelY 30225 -0.27678766 1.20682436 -15.858765 69.145942
    Unten links KachelX 59761 KachelY + 1 30226 -0.27683560 1.20680729 -15.861511 69.144964
    Unten rechts KachelX + 1 59762 KachelY + 1 30226 -0.27678766 1.20680729 -15.858765 69.144964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20682436-1.20680729) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dl = 108.752969999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20682436-1.20680729) × R
    1.70699999999524e-05 × 6371000     		dr = 108.752969999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27683560--0.27678766) × cos(1.20682436) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35598879578059 × 6371000     		do = 108.72814138305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27683560--0.27678766) × cos(1.20680729) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.356004747476834 × 6371000     		du = 108.73301344168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20682436)-sin(1.20680729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35598879578059-0.356004747476834)×R²
    abs(-0.27678766--0.27683560)×1.59516962445205e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59516962445205e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59516962445205e-05×40589641000000     		ar = 11824.7732236902m²