Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59760 / 85168
↖ ↑ ↗
← S 47.368594°
W 15.864258°		 ← 206.82 m → S 47.368594°
W 15.861511°		 →
↑
206.87 m
↓
↑
206.87 m
↓
S 47.370455°
W 15.864258°		 ← 206.81 m →
42 782 m²		 S 47.370455°
W 15.861511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455936431884766 y=0.649784088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455936431884766 × 217)
    floor (0.455936431884766 × 131072)
    floor (59760.5)     		tx = 59760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649784088134766 × 217)
    floor (0.649784088134766 × 131072)
    floor (85168.5)     		ty = 85168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59760 / 85168 ti = "17/59760/85168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59760/85168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59760 ÷ 217
    59760 ÷ 131072     		x = 0.4559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85168 ÷ 217
    85168 ÷ 131072     		y = 0.6497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.088134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27688353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.299560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.941097213340942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27688353} λ = -0.27688353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941097213340942))-π/2
    2×atan(0.390199468334204)-π/2
    2×0.372029196723787-π/2
    0.744058393447574-1.57079632675     		φ = -0.82673793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27688353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82673793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.368594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59760 KachelY 85168 -0.27688353 -0.82673793 -15.864258 -47.368594
    Oben rechts KachelX + 1 59761 KachelY 85168 -0.27683560 -0.82673793 -15.861511 -47.368594
    Unten links KachelX 59760 KachelY + 1 85169 -0.27688353 -0.82677040 -15.864258 -47.370455
    Unten rechts KachelX + 1 59761 KachelY + 1 85169 -0.27683560 -0.82677040 -15.861511 -47.370455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82673793--0.82677040) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dl = 206.866370000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82673793--0.82677040) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dr = 206.866370000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27688353--0.27683560) × cos(-0.82673793) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.677279348882573 × 6371000     		do = 206.815396851748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27688353--0.27683560) × cos(-0.82677040) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.67725545950373 × 6371000     		du = 206.808101942529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82673793)-sin(-0.82677040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677279348882573-0.67725545950373)×R²
    abs(-0.27683560--0.27688353)×2.38893788427896e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38893788427896e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38893788427896e-05×40589641000000     		ar = 42782.3958751767m²