Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59759 / 85119
↖ ↑ ↗
← S 47.277366°
W 15.867004°		 ← 207.22 m → S 47.277366°
W 15.864258°		 →
↑
207.18 m
↓
↑
207.18 m
↓
S 47.279229°
W 15.867004°		 ← 207.21 m →
42 931 m²		 S 47.279229°
W 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455928802490234 y=0.649410247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455928802490234 × 217)
    floor (0.455928802490234 × 131072)
    floor (59759.5)     		tx = 59759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649410247802734 × 217)
    floor (0.649410247802734 × 131072)
    floor (85119.5)     		ty = 85119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59759 / 85119 ti = "17/59759/85119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59759/85119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59759 ÷ 217
    59759 ÷ 131072     		x = 0.455924987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85119 ÷ 217
    85119 ÷ 131072     		y = 0.649406433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455924987792969 × 2 - 1) × π
    -0.0881500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27693147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649406433105469 × 2 - 1) × π
    -0.298812866210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.93874830525956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27693147} λ = -0.27693147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93874830525956))-π/2
    2×atan(0.391117088299298)-π/2
    2×0.372825317563945-π/2
    0.74565063512789-1.57079632675     		φ = -0.82514569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27693147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.867004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82514569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.277366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59759 KachelY 85119 -0.27693147 -0.82514569 -15.867004 -47.277366
    Oben rechts KachelX + 1 59760 KachelY 85119 -0.27688353 -0.82514569 -15.864258 -47.277366
    Unten links KachelX 59759 KachelY + 1 85120 -0.27693147 -0.82517821 -15.867004 -47.279229
    Unten rechts KachelX + 1 59760 KachelY + 1 85120 -0.27688353 -0.82517821 -15.864258 -47.279229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82514569--0.82517821) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dl = 207.184919999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82514569--0.82517821) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dr = 207.184919999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27693147--0.27688353) × cos(-0.82514569) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678449942156442 × 6371000     		do = 207.216075636192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27693147--0.27688353) × cos(-0.82517821) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67842605108918 × 6371000     		du = 207.208778689295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82514569)-sin(-0.82517821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678449942156442-0.67842605108918)×R²
    abs(-0.27688353--0.27693147)×2.38910672619719e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38910672619719e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38910672619719e-05×40589641000000     		ar = 42931.2901483175m²