Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59759 / 59889
↖ ↑ ↗
← S 81.506110°
E148.265991°		 ← 90.22 m → S 81.506110°
E148.271484°		 →
↑
90.21 m
↓
↑
90.21 m
↓
S 81.506921°
E148.265991°		 ← 90.21 m →
8 138 m²		 S 81.506921°
E148.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911857604980469 y=0.913841247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911857604980469 × 216)
    floor (0.911857604980469 × 65536)
    floor (59759.5)     		tx = 59759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913841247558594 × 216)
    floor (0.913841247558594 × 65536)
    floor (59889.5)     		ty = 59889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59759 / 59889 ti = "16/59759/59889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59759/59889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59759 ÷ 216
    59759 ÷ 65536     		x = 0.911849975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59889 ÷ 216
    59889 ÷ 65536     		y = 0.913833618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911849975585938 × 2 - 1) × π
    0.823699951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58772972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913833618164062 × 2 - 1) × π
    -0.827667236328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60019330919109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58772972} λ = 2.58772972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60019330919109))-π/2
    2×atan(0.0742592218366648)-π/2
    2×0.0741231725507457-π/2
    0.148246345101491-1.57079632675     		φ = -1.42254998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58772972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.265991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42254998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.506110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59759 KachelY 59889 2.58772972 -1.42254998 148.265991 -81.506110
    Oben rechts KachelX + 1 59760 KachelY 59889 2.58782559 -1.42254998 148.271484 -81.506110
    Unten links KachelX 59759 KachelY + 1 59890 2.58772972 -1.42256414 148.265991 -81.506921
    Unten rechts KachelX + 1 59760 KachelY + 1 59890 2.58782559 -1.42256414 148.271484 -81.506921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42254998--1.42256414) × R
    1.41599999998743e-05 × 6371000     		dl = 90.213359999199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42254998--1.42256414) × R
    1.41599999998743e-05 × 6371000     		dr = 90.213359999199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58772972-2.58782559) × cos(-1.42254998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147703942008952 × 6371000     		do = 90.2157613598551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58772972-2.58782559) × cos(-1.42256414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.147689937306404 × 6371000     		du = 90.2072074588166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42254998)-sin(-1.42256414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147703942008952-0.147689937306404)×R²
    abs(2.58782559-2.58772972)×1.40047025474488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40047025474488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40047025474488e-05×40589641000000     		ar = 8138.28111926602m²