Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59759 / 59197
↖ ↑ ↗
← S 80.925827°
E148.265991°		 ← 96.33 m → S 80.925827°
E148.271484°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
S 80.926693°
E148.265991°		 ← 96.32 m →
9 279 m²		 S 80.926693°
E148.271484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911857604980469 y=0.903282165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911857604980469 × 216)
    floor (0.911857604980469 × 65536)
    floor (59759.5)     		tx = 59759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903282165527344 × 216)
    floor (0.903282165527344 × 65536)
    floor (59197.5)     		ty = 59197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59759 / 59197 ti = "16/59759/59197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59759/59197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59759 ÷ 216
    59759 ÷ 65536     		x = 0.911849975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59197 ÷ 216
    59197 ÷ 65536     		y = 0.903274536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911849975585938 × 2 - 1) × π
    0.823699951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58772972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903274536132812 × 2 - 1) × π
    -0.806549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53384864011693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58772972} λ = 2.58772972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53384864011693))-π/2
    2×atan(0.0793530305845645)-π/2
    2×0.0791870975955645-π/2
    0.158374195191129-1.57079632675     		φ = -1.41242213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58772972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.265991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41242213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.925827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59759 KachelY 59197 2.58772972 -1.41242213 148.265991 -80.925827
    Oben rechts KachelX + 1 59760 KachelY 59197 2.58782559 -1.41242213 148.271484 -80.925827
    Unten links KachelX 59759 KachelY + 1 59198 2.58772972 -1.41243725 148.265991 -80.926693
    Unten rechts KachelX + 1 59760 KachelY + 1 59198 2.58782559 -1.41243725 148.271484 -80.926693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41242213--1.41243725) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dl = 96.3295200002237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41242213--1.41243725) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dr = 96.3295200002237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58772972-2.58782559) × cos(-1.41242213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157712959482082 × 6371000     		do = 96.3291468221593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58772972-2.58782559) × cos(-1.41243725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157698028690877 × 6371000     		du = 96.3200272774944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41242213)-sin(-1.41243725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157712959482082-0.157698028690877)×R²
    abs(2.58782559-2.58772972)×1.49307912056529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49307912056529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49307912056529e-05×40589641000000     		ar = 9278.90123508779m²