Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59759 / 30342
↖ ↑ ↗
← N 69.031245°
W 15.867004°		 ← 109.30 m → N 69.031245°
W 15.864258°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
N 69.030262°
W 15.867004°		 ← 109.30 m →
11 950 m²		 N 69.030262°
W 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455928802490234 y=0.231494903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455928802490234 × 217)
    floor (0.455928802490234 × 131072)
    floor (59759.5)     		tx = 59759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231494903564453 × 217)
    floor (0.231494903564453 × 131072)
    floor (30342.5)     		ty = 30342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59759 / 30342 ti = "17/59759/30342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59759/30342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59759 ÷ 217
    59759 ÷ 131072     		x = 0.455924987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30342 ÷ 217
    30342 ÷ 131072     		y = 0.231491088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455924987792969 × 2 - 1) × π
    -0.0881500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27693147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231491088867188 × 2 - 1) × π
    0.537017822265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68709124522826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27693147} λ = -0.27693147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68709124522826))-π/2
    2×atan(5.40373966927491)-π/2
    2×1.38780942090387-π/2
    2.77561884180773-1.57079632675     		φ = 1.20482252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27693147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.867004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20482252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.031245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59759 KachelY 30342 -0.27693147 1.20482252 -15.867004 69.031245
    Oben rechts KachelX + 1 59760 KachelY 30342 -0.27688353 1.20482252 -15.864258 69.031245
    Unten links KachelX 59759 KachelY + 1 30343 -0.27693147 1.20480536 -15.867004 69.030262
    Unten rechts KachelX + 1 59760 KachelY + 1 30343 -0.27688353 1.20480536 -15.864258 69.030262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20482252-1.20480536) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dl = 109.326360000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20482252-1.20480536) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dr = 109.326360000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27693147--0.27688353) × cos(1.20482252) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.3578587811516 × 6371000     		do = 109.299283048781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27693147--0.27688353) × cos(1.20480536) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.357874804690243 × 6371000     		du = 109.304177049928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20482252)-sin(1.20480536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3578587811516-0.357874804690243)×R²
    abs(-0.27688353--0.27693147)×1.60235386428842e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60235386428842e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60235386428842e-05×40589641000000     		ar = 11949.5602884144m²