Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59759 / 27323
↖ ↑ ↗
← N 71.805699°
W 15.867004°		 ← 95.37 m → N 71.805699°
W 15.864258°		 →
↑
95.37 m
↓
↑
95.37 m
↓
N 71.804841°
W 15.867004°		 ← 95.37 m →
9 096 m²		 N 71.804841°
W 15.864258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455928802490234 y=0.208461761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455928802490234 × 217)
    floor (0.455928802490234 × 131072)
    floor (59759.5)     		tx = 59759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208461761474609 × 217)
    floor (0.208461761474609 × 131072)
    floor (27323.5)     		ty = 27323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59759 / 27323 ti = "17/59759/27323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59759/27323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59759 ÷ 217
    59759 ÷ 131072     		x = 0.455924987792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27323 ÷ 217
    27323 ÷ 131072     		y = 0.208457946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455924987792969 × 2 - 1) × π
    -0.0881500244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27693147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208457946777344 × 2 - 1) × π
    0.583084106445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.83181274518121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27693147} λ = -0.27693147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83181274518121))-π/2
    2×atan(6.24519735513324)-π/2
    2×1.41202109591239-π/2
    2.82404219182478-1.57079632675     		φ = 1.25324587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27693147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.867004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25324587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.805699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59759 KachelY 27323 -0.27693147 1.25324587 -15.867004 71.805699
    Oben rechts KachelX + 1 59760 KachelY 27323 -0.27688353 1.25324587 -15.864258 71.805699
    Unten links KachelX 59759 KachelY + 1 27324 -0.27693147 1.25323090 -15.867004 71.804841
    Unten rechts KachelX + 1 59760 KachelY + 1 27324 -0.27688353 1.25323090 -15.864258 71.804841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25324587-1.25323090) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dl = 95.373870000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25324587-1.25323090) × R
    1.49700000000585e-05 × 6371000     		dr = 95.373870000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27693147--0.27688353) × cos(1.25324587) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.3122404260326 × 6371000     		do = 95.36626317897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27693147--0.27688353) × cos(1.25323090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.312254647544227 × 6371000     		du = 95.3706067946827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25324587)-sin(1.25323090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3122404260326-0.312254647544227)×R²
    abs(-0.27688353--0.27693147)×1.42215116273881e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42215116273881e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42215116273881e-05×40589641000000     		ar = 9095.65672066449m²