Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59758 / 54612
↖ ↑ ↗
← N 28.719496°
W 15.869751°		 ← 267.85 m → N 28.719496°
W 15.867004°		 →
↑
267.84 m
↓
↑
267.84 m
↓
N 28.717088°
W 15.869751°		 ← 267.86 m →
71 742 m²		 N 28.717088°
W 15.867004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455921173095703 y=0.416660308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455921173095703 × 217)
    floor (0.455921173095703 × 131072)
    floor (59758.5)     		tx = 59758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416660308837891 × 217)
    floor (0.416660308837891 × 131072)
    floor (54612.5)     		ty = 54612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59758 / 54612 ti = "17/59758/54612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59758/54612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59758 ÷ 217
    59758 ÷ 131072     		x = 0.455917358398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54612 ÷ 217
    54612 ÷ 131072     		y = 0.416656494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455917358398438 × 2 - 1) × π
    -0.088165283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27697941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416656494140625 × 2 - 1) × π
    0.16668701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.523662691449493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27697941} λ = -0.27697941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523662691449493))-π/2
    2×atan(1.68819969423664)-π/2
    2×1.03602304668617-π/2
    2.07204609337234-1.57079632675     		φ = 0.50124977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27697941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.869751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50124977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.719496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59758 KachelY 54612 -0.27697941 0.50124977 -15.869751 28.719496
    Oben rechts KachelX + 1 59759 KachelY 54612 -0.27693147 0.50124977 -15.867004 28.719496
    Unten links KachelX 59758 KachelY + 1 54613 -0.27697941 0.50120773 -15.869751 28.717088
    Unten rechts KachelX + 1 59759 KachelY + 1 54613 -0.27693147 0.50120773 -15.867004 28.717088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50124977-0.50120773) × R
    4.20400000000765e-05 × 6371000     		dl = 267.836840000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50124977-0.50120773) × R
    4.20400000000765e-05 × 6371000     		dr = 267.836840000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27697941--0.27693147) × cos(0.50124977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876982705031963 × 6371000     		do = 267.853091651413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27697941--0.27693147) × cos(0.50120773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.877002905399353 × 6371000     		du = 267.859261363572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50124977)-sin(0.50120773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876982705031963-0.877002905399353)×R²
    abs(-0.27693147--0.27697941)×2.0200367389922e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0200367389922e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0200367389922e-05×40589641000000     		ar = 71741.7519009789m²