Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59757 / 30360
↖ ↑ ↗
← N 69.013546°
W 15.872497°		 ← 109.36 m → N 69.013546°
W 15.869751°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
N 69.012562°
W 15.872497°		 ← 109.37 m →
11 964 m²		 N 69.012562°
W 15.869751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455913543701172 y=0.231632232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455913543701172 × 217)
    floor (0.455913543701172 × 131072)
    floor (59757.5)     		tx = 59757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231632232666016 × 217)
    floor (0.231632232666016 × 131072)
    floor (30360.5)     		ty = 30360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59757 / 30360 ti = "17/59757/30360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59757/30360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59757 ÷ 217
    59757 ÷ 131072     		x = 0.455909729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30360 ÷ 217
    30360 ÷ 131072     		y = 0.23162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455909729003906 × 2 - 1) × π
    -0.0881805419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27702734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23162841796875 × 2 - 1) × π
    0.5367431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6862283810351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27702734} λ = -0.27702734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6862283810351))-π/2
    2×atan(5.39907898686229)-π/2
    2×1.38765496692498-π/2
    2.77530993384996-1.57079632675     		φ = 1.20451361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27702734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.872497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20451361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.013546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59757 KachelY 30360 -0.27702734 1.20451361 -15.872497 69.013546
    Oben rechts KachelX + 1 59758 KachelY 30360 -0.27697941 1.20451361 -15.869751 69.013546
    Unten links KachelX 59757 KachelY + 1 30361 -0.27702734 1.20449644 -15.872497 69.012562
    Unten rechts KachelX + 1 59758 KachelY + 1 30361 -0.27697941 1.20449644 -15.869751 69.012562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20451361-1.20449644) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20451361-1.20449644) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27702734--0.27697941) × cos(1.20451361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358147216729857 × 6371000     		do = 109.364561139546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27702734--0.27697941) × cos(1.20449644) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35816324770731 × 6371000     		du = 109.369456391364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20451361)-sin(1.20449644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358147216729857-0.35816324770731)×R²
    abs(-0.27697941--0.27702734)×1.60309774536183e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60309774536183e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60309774536183e-05×40589641000000     		ar = 11963.6647449376m²