Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59756 / 59107
↖ ↑ ↗
← S 80.847523°
E148.249511°		 ← 97.16 m → S 80.847523°
E148.255005°		 →
↑
97.16 m
↓
↑
97.16 m
↓
S 80.848397°
E148.249511°		 ← 97.15 m →
9 440 m²		 S 80.848397°
E148.255005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911811828613281 y=0.901908874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911811828613281 × 216)
    floor (0.911811828613281 × 65536)
    floor (59756.5)     		tx = 59756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901908874511719 × 216)
    floor (0.901908874511719 × 65536)
    floor (59107.5)     		ty = 59107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59756 / 59107 ti = "16/59756/59107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59756/59107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59756 ÷ 216
    59756 ÷ 65536     		x = 0.91180419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59107 ÷ 216
    59107 ÷ 65536     		y = 0.901901245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91180419921875 × 2 - 1) × π
    0.8236083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58744209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901901245117188 × 2 - 1) × π
    -0.803802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52521999818532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58744209} λ = 2.58744209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52521999818532))-π/2
    2×atan(0.080040702040425)-π/2
    2×0.0798704287852834-π/2
    0.159740857570567-1.57079632675     		φ = -1.41105547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58744209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.249511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41105547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.847523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59756 KachelY 59107 2.58744209 -1.41105547 148.249511 -80.847523
    Oben rechts KachelX + 1 59757 KachelY 59107 2.58753797 -1.41105547 148.255005 -80.847523
    Unten links KachelX 59756 KachelY + 1 59108 2.58744209 -1.41107072 148.249511 -80.848397
    Unten rechts KachelX + 1 59757 KachelY + 1 59108 2.58753797 -1.41107072 148.255005 -80.848397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41105547--1.41107072) × R
    1.52499999999112e-05 × 6371000     		dl = 97.157749999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41105547--1.41107072) × R
    1.52499999999112e-05 × 6371000     		dr = 97.157749999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58744209-2.58753797) × cos(-1.41105547) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159062368025207 × 6371000     		do = 97.1634829204386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58744209-2.58753797) × cos(-1.41107072) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159047312161531 × 6371000     		du = 97.1542860238293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41105547)-sin(-1.41107072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159062368025207-0.159047312161531)×R²
    abs(2.58753797-2.58744209)×1.50558636762832e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50558636762832e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50558636762832e-05×40589641000000     		ar = 9439.73860800953m²