Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59755 / 85122
↖ ↑ ↗
← S 47.282955°
W 15.877991°		 ← 207.19 m → S 47.282955°
W 15.875244°		 →
↑
207.18 m
↓
↑
207.18 m
↓
S 47.284819°
W 15.877991°		 ← 207.19 m →
42 927 m²		 S 47.284819°
W 15.875244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455898284912109 y=0.649433135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455898284912109 × 217)
    floor (0.455898284912109 × 131072)
    floor (59755.5)     		tx = 59755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649433135986328 × 217)
    floor (0.649433135986328 × 131072)
    floor (85122.5)     		ty = 85122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59755 / 85122 ti = "17/59755/85122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59755/85122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59755 ÷ 217
    59755 ÷ 131072     		x = 0.455894470214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85122 ÷ 217
    85122 ÷ 131072     		y = 0.649429321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455894470214844 × 2 - 1) × π
    -0.0882110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27712322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649429321289062 × 2 - 1) × π
    -0.298858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.93889211595842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27712322} λ = -0.27712322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93889211595842))-π/2
    2×atan(0.391060845521747)-π/2
    2×0.372776535960883-π/2
    0.745553071921767-1.57079632675     		φ = -0.82524325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27712322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.877991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82524325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.282955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59755 KachelY 85122 -0.27712322 -0.82524325 -15.877991 -47.282955
    Oben rechts KachelX + 1 59756 KachelY 85122 -0.27707528 -0.82524325 -15.875244 -47.282955
    Unten links KachelX 59755 KachelY + 1 85123 -0.27712322 -0.82527577 -15.877991 -47.284819
    Unten rechts KachelX + 1 59756 KachelY + 1 85123 -0.27707528 -0.82527577 -15.875244 -47.284819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82524325--0.82527577) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dl = 207.184919999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82524325--0.82527577) × R
    3.25199999999803e-05 × 6371000     		dr = 207.184919999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27712322--0.27707528) × cos(-0.82524325) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678378266802272 × 6371000     		do = 207.194184138105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27712322--0.27707528) × cos(-0.82527577) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678354373582677 × 6371000     		du = 207.186886533829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82524325)-sin(-0.82527577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678378266802272-0.678354373582677)×R²
    abs(-0.27707528--0.27712322)×2.38932195953945e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38932195953945e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38932195953945e-05×40589641000000     		ar = 42926.7544920462m²