Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59755 / 30181
↖ ↑ ↗
← N 69.188921°
W 15.877991°		 ← 108.51 m → N 69.188921°
W 15.875244°		 →
↑
108.50 m
↓
↑
108.50 m
↓
N 69.187945°
W 15.877991°		 ← 108.52 m →
11 774 m²		 N 69.187945°
W 15.875244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455898284912109 y=0.230266571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455898284912109 × 217)
    floor (0.455898284912109 × 131072)
    floor (59755.5)     		tx = 59755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230266571044922 × 217)
    floor (0.230266571044922 × 131072)
    floor (30181.5)     		ty = 30181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59755 / 30181 ti = "17/59755/30181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59755/30181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59755 ÷ 217
    59755 ÷ 131072     		x = 0.455894470214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30181 ÷ 217
    30181 ÷ 131072     		y = 0.230262756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455894470214844 × 2 - 1) × π
    -0.0882110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27712322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230262756347656 × 2 - 1) × π
    0.539474487304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.69480908606709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27712322} λ = -0.27712322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69480908606709))-π/2
    2×atan(5.4456062238641)-π/2
    2×1.38918540360858-π/2
    2.77837080721716-1.57079632675     		φ = 1.20757448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27712322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.877991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20757448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.188921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59755 KachelY 30181 -0.27712322 1.20757448 -15.877991 69.188921
    Oben rechts KachelX + 1 59756 KachelY 30181 -0.27707528 1.20757448 -15.875244 69.188921
    Unten links KachelX 59755 KachelY + 1 30182 -0.27712322 1.20755745 -15.877991 69.187945
    Unten rechts KachelX + 1 59756 KachelY + 1 30182 -0.27707528 1.20755745 -15.875244 69.187945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20757448-1.20755745) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dl = 108.498129999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20757448-1.20755745) × R
    1.70299999999735e-05 × 6371000     		dr = 108.498129999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27712322--0.27707528) × cos(1.20757448) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355287715886206 × 6371000     		do = 108.514013537509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27712322--0.27707528) × cos(1.20755745) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355303634746303 × 6371000     		du = 108.518875567134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20757448)-sin(1.20755745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355287715886206-0.355303634746303)×R²
    abs(-0.27707528--0.27712322)×1.59188600967197e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59188600967197e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59188600967197e-05×40589641000000     		ar = 11773.8313086251m²