Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59754 / 59118
↖ ↑ ↗
← S 80.857129°
E148.238526°		 ← 97.05 m → S 80.857129°
E148.244019°		 →
↑
97.03 m
↓
↑
97.03 m
↓
S 80.858002°
E148.238526°		 ← 97.04 m →
9 417 m²		 S 80.858002°
E148.244019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911781311035156 y=0.902076721191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911781311035156 × 216)
    floor (0.911781311035156 × 65536)
    floor (59754.5)     		tx = 59754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902076721191406 × 216)
    floor (0.902076721191406 × 65536)
    floor (59118.5)     		ty = 59118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59754 / 59118 ti = "16/59754/59118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59754/59118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59754 ÷ 216
    59754 ÷ 65536     		x = 0.911773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59118 ÷ 216
    59118 ÷ 65536     		y = 0.902069091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911773681640625 × 2 - 1) × π
    0.82354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58725035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902069091796875 × 2 - 1) × π
    -0.80413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52627460997696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58725035} λ = 2.58725035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52627460997696))-π/2
    2×atan(0.0799563346674746)-π/2
    2×0.0797865979101095-π/2
    0.159573195820219-1.57079632675     		φ = -1.41122313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58725035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.238526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41122313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.857129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59754 KachelY 59118 2.58725035 -1.41122313 148.238526 -80.857129
    Oben rechts KachelX + 1 59755 KachelY 59118 2.58734622 -1.41122313 148.244019 -80.857129
    Unten links KachelX 59754 KachelY + 1 59119 2.58725035 -1.41123836 148.238526 -80.858002
    Unten rechts KachelX + 1 59755 KachelY + 1 59119 2.58734622 -1.41123836 148.244019 -80.858002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41122313--1.41123836) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dl = 97.0303300002084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41122313--1.41123836) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dr = 97.0303300002084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58725035-2.58734622) × cos(-1.41122313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158896840347548 × 6371000     		do = 97.0522467759229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58725035-2.58734622) × cos(-1.41123836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158881803823362 × 6371000     		du = 97.0430626508466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41122313)-sin(-1.41123836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158896840347548-0.158881803823362)×R²
    abs(2.58734622-2.58725035)×1.50365241863293e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50365241863293e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50365241863293e-05×40589641000000     		ar = 9416.56596286158m²